دراسة الدوال الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — حساب $f^{\prime }(x)$ و $f^{\prime \prime }(x)$، تغيرات $f$.

لدينا $f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+2$، إذن:

$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x^3-3x^2+3x-1)=4(x-1{)}^3$$

نتحقق: $(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1$ ✓

وبذلك $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$.

بخصوص التغيرات: $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$. بما أن $(x-1{)}^3$ لها نفس إشارة $(x-1)$، فإن:

• $f^{\prime }(x)<0$ من أجل $x<1$،
• $f^{\prime }(x)=0$ من أجل $x=1$،
• $f^{\prime }(x)>0$ من أجل $x>1$.

إذن $f$ تناقصية قطعاً على $]-\infty ,1]$ وتزايدية قطعاً على $[1,+\infty [$. تقبل $f$ حدّاً أدنى شاملاً عند $x=1$.

المرحلة 2 — حساب $f^{\prime \prime }(x)$.

نشتق $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$:

$$f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2$$

يمكن أيضاً كتابة $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x+12$، وهذا يعطي فعلاً $12(x-1{)}^2$ ✓

نلاحظ أن $f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2\ge 0$ من أجل كل $x\in \mathbb{R}$، مع $f^{\prime \prime }(x)=0$ إذا وفقط إذا كان $x=1$.

المرحلة 3 — التحدب ونقط الانعطاف.

لدينا $f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2$. نبحث عن نقط الانعطاف بحل $f^{\prime \prime }(x)=0$:

$$12(x-1{)}^2=0⟺x=1$$

لدينا $f^{\prime \prime }(1)=0$. نستنتج إذن أن النقطة $\left(1,f(1)\right)$ هي نقطة انعطاف للمنحنى ${\mathcal{C}}_f$.

وعلاوة على ذلك، بما أن $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ من أجل كل $x$، فإن المنحنى محدب على $\mathbb{R}$، والنقطة $x=1$ معلَنة كنقطة انعطاف.

المرحلة 4 — حساب $f(1)$ و $f^{\prime }(1)$ ومعادلة المماس عند $x=1$.

$$f(1)=1-4+6-4+2=1$$

$$f^{\prime }(1)=4(1-1{)}^3=0$$

المماس $T$ لـ ${\mathcal{C}}_f$ عند النقطة ذات الفاصلة $x=1$ معادلته:

$$y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=0\cdot (x-1)+1$$

$$\boxed{y=1}$$

المماس هو إذن المستقيم الأفقي $y=1$. وفقاً للمرحلة السابقة، النقطة $(1,1)$ هي نقطة الانعطاف المعلَنة، والمماس عند هذه النقطة هو $y=1$.

المرحلة 5 — جدول التغيرات وشكل ${\mathcal{C}}_f$.

نجمع النتائج:

المنحنى ${\mathcal{C}}_f$ محدب على $\mathbb{R}$ (لأن $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ في كل مكان).

وفقاً للمرحلة 3، النقطة $I(1,1)$ هي نقطة انعطاف للمنحنى ${\mathcal{C}}_f$، مع مماس أفقي $y=1$.

ملاحظة للرسم: $f(x)=(x-1{)}^4+1$ (نتحقق: $(x-1{)}^4+1=x^4-4x^3+6x^2-4x+2$ ✓)، مما يؤكد أن $f(x)\ge 1$ من أجل كل $x$، مع حدّ أدنى عند $x=1$.