دراسة الدوال الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — مجموعة التعريف.

الدالة $f(x)=x+2-\frac{9}{x-3}$ معرفة من أجل كل $x\in \mathbb{R}$ بحيث $x-3\ne 0$، أي $x\ne 3$.

إذن $$D_f=\mathbb{R}\setminus \{3\}=]-\infty ;3[\cup ]3;+\infty [.$$

المرحلة 2 — حساب $f^{\prime }(x)$.

من أجل كل $x\in D_f$، نشتق حداً بحد:

$$f^{\prime }(x)=1-\frac{(9{)}^{\prime }(x-3)-9(x-3{)}^{\prime }}{(x-3{)}^2}=1-\frac{0\cdot (x-3)-9\cdot 1}{(x-3{)}^2}=1+\frac{9}{(x-3{)}^2}\cdot (-1{)}^2$$

لنعد الحساب بدقة: ${\left(\frac{9}{x-3}\right)}^{\prime }=\frac{-9}{(x-3{)}^2}$، إذن

$$f^{\prime }(x)=1-\left(\frac{-9}{(x-3{)}^2}\right)=1+\frac{9}{(x-3{)}^2}.$$

بتوحيد المقام:

$$f^{\prime }(x)=\frac{(x-3{)}^2+9}{(x-3{)}^2}.$$

بما أن $(x-3{)}^2\ge 0$ و $(x-3{)}^2+9\ge 9>0$، فإن $f^{\prime }(x)>0$ من أجل كل $x\in D_f$.

المرحلة 3 — جدول التغيرات.

بما أن $f^{\prime }(x)>0$ من أجل كل $x$ يحقق $(x-3{)}^2+9>0$، أي من أجل كل $x\in \mathbb{R}$، فإن الدالة $f$ تزايدية قطعاً على $\mathbb{R}$ بأكمله.

نحسب النهايتين عند الحدود:

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$

جدول التغيرات:

$$\begin{array}{cccc}x& -\infty & & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& \\ & -\infty & & +\infty \\ f& & \nearrow & \end{array}$$

وبذلك $f$ تزايدية قطعاً على $\mathbb{R}$.

المرحلة 4 — المقارب المائل والموضع النسبي.

نضع $g(x)=f(x)-(x+2)=-\frac{9}{x-3}$.

لدينا $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }g(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-9}{x-3}=0$.

إذن المستقيم $\Delta :y=x+2$ هو فعلاً مقارب مائل لمنحنى $f$ عند $+\infty$ وعند $-\infty$.

الموضع النسبي:

• من أجل $x>3$: $x-3>0$ إذن $g(x)=\frac{-9}{x-3}<0$: المنحنى يقع أسفل $\Delta$.
• من أجل $x<3$: $x-3<0$ إذن $g(x)=\frac{-9}{x-3}>0$: المنحنى يقع فوق $\Delta$.

المرحلة 5 — النهايات عند $x=3$ (مقارب عمودي).

نحسب:

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=3+2-\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{9}{x-3}=5-(-\infty )=+\infty ,$$

$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=5-\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{9}{x-3}=5-(+\infty )=-\infty .$$

المستقيم $x=3$ هو إذن مقارب عمودي لمنحنى $f$. تؤكد هاتان النهايتان أن جدول التغيرات يجب أن يراعي القطيعة عند $x=3$.