دراسة الدوال الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — مجموعة التعريف والنهايات عند اللانهاية.

المقام $x^2+1\ge 1>0$ من أجل كل $x\in \mathbb{R}$، إذن $f$ معرفة على $\mathbb{R}$ بأكمله: $D_f=\mathbb{R}$.

حساب النهايتين عند $\pm \infty$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$$

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }x=-\infty$$

النهايتان لانهائيتان، إذن لا يوجد مقارب أفقي عند $\pm \infty$.

المرحلة 2 — البحث عن مقاربات مائلة: حساب $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.

نحسب:

$$\frac{f(x)}{x}=\frac{x^3+2x^2-x+1}{x(x^2+1)}=\frac{x^3+2x^2-x+1}{x^3+x}$$

بقسمة البسط والمقام على $x^3$:

$$\frac{f(x)}{x}=\frac{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}}\underset{x\to \pm \infty }{\to }\frac{1}{1}=1$$

إذن $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$.

الميل المحتمل لمقارب مائل هو $a=1$. نضع $b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }[f(x)-x]$.

المرحلة 3 — حساب $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }[f(x)-x]$ والاستنتاج بخصوص الفروع اللانهائية.

نجري القسمة الإقليدية لـ $x^3+2x^2-x+1$ على $x^2+1$:

$$x^3+2x^2-x+1=(x^2+1)(x+2)+(-2x-1)$$

التحقق: $(x^2+1)(x+2)=x^3+2x^2+x+2$، و $x^3+2x^2+x+2+(-2x-1)=x^3+2x^2-x+1$ ✓

إذن:

$$f(x)=x+2+\frac{-2x-1}{x^2+1}$$

وحيث أن $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x^2+1}=0$، إذن:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(x+2)]=0\text{و}\underset{x\to -\infty }{\lim }[f(x)-(x+2)]=0$$

المستقيم $\Delta :y=x+2$ هو مقارب مائل لمنحنى $f$ عند $+\infty$ وعند $-\infty$.

المرحلة 4 — موضع المنحنى بالنسبة إلى المقارب وطبيعة الفروع اللانهائية.

ندرس إشارة $f(x)-(x+2)=\frac{-2x-1}{x^2+1}$.

المقام $x^2+1>0$ دائماً. البسط $-2x-1=0\iff x=-\frac{1}{2}$.

• من أجل $x>-\frac{1}{2}$: $-2x-1<0$، إذن $f(x)<x+2$: المنحنى يقع أسفل $\Delta$.
• من أجل $x<-\frac{1}{2}$: $-2x-1>0$، إذن $f(x)>x+2$: المنحنى يقع فوق $\Delta$.

وبذلك، عند $+\infty$، يقترب المنحنى من $\Delta$ من الأسفل؛ وعند $-\infty$، يقترب منه من الأعلى.

الاستنتاج بخصوص الفروع اللانهائية: يقبل منحنى $f$ المستقيم $y=x+2$ كمقارب مائل عند $+\infty$ وعند $-\infty$. لا يوجد فرع شلجمي: الفرعان اللانهائيان لهما اتجاه مائل، ويتوازيان تقارباً مع $\Delta$.

المرحلة 5 — حساب $f^{\prime }(x)$ وجدول التغيرات.

نستعمل الصيغة $f(x)=x+2+\frac{-2x-1}{x^2+1}$. نشتق:

$$f^{\prime }(x)=1+\frac{(-2)(x^2+1)-(-2x-1)(2x)}{(x^2+1{)}^2}$$

بسط الكسر: $(-2)(x^2+1)-(-2x-1)(2x)=-2x^2-2+4x^2+2x=2x^2+2x-2$.

إذن:

$$f^{\prime }(x)=1+\frac{2x^2+2x-2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{(x^2+1{)}^2+2x^2+2x-2}{(x^2+1{)}^2}$$

لننشر $(x^2+1{)}^2=x^4+2x^2+1$، إذن:

$$f^{\prime }(x)=\frac{x^4+2x^2+1+2x^2+2x-2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^4+4x^2+2x-1}{(x^2+1{)}^2}$$

نبحث عن جذور $P(x)=x^4+4x^2+2x-1$. نتحقق أن $P(0)=-1<0$ و $P(1)=1+4+2-1=6>0$، إذن $P$ ينعدم بين $0$ و $1$. وبالمثل $P(-1)=1+4-2-1=2>0$ و $P(0)=-1<0$، إذن $P$ ينعدم بين $-1$ و $0$. من أجل $|x|$ كبير، $P(x)\to +\infty$. تُظهر دراسة أدق (أو عددية) أن $P$ يقبل بالضبط جذرين حقيقيين $x_1\approx -0,9$ و $x_2\approx 0,4$، وأن $f^{\prime }(x)<0$ على $]x_1,x_2[$ و $f^{\prime }(x)>0$ على $]-\infty ,x_1[\cup ]x_2,+\infty [$.

جدول التغيرات:

$$\begin{array}{cccccccc}x& -\infty & & x_1& & x_2& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & +& 0& -& 0& +& \\ f& -\infty \nearrow & & f(x_1)& \searrow & f(x_2)& \nearrow & +\infty \end{array}$$

المرحلة 6 — وجود وتأطير الجذر $\alpha$ في $[-3,-2]$.

$f$ متصلة على $\mathbb{R}$ (دالة كسرية ذات مقام لا ينعدم). نحسب:

$$f(-3)=\frac{-27+18+3+1}{9+1}=\frac{-5}{10}=-\frac{1}{2}<0$$

$$f(-2)=\frac{-8+8+2+1}{4+1}=\frac{3}{5}>0$$

$f(-3)<0<f(-2)$، إذن حسب مبرهنة القيم الوسيطية، تنعدم $f$ مرة واحدة على الأقل على $]-3,-2[$. وعلاوة على ذلك، $f$ تزايدية قطعاً على $]-\infty ,x_1[$ حيث $x_1\approx -0,9>-2$، إذن $f$ رتيبة قطعاً على $[-3,-2]$، مما يضمن وحدانية $\alpha$.

تأطير بدقة $10^{-1}$: نحسب $f(-2,5)=\frac{-15,625+12,5+2,5+1}{6,25+1}=\frac{0,375}{7,25}>0$.

ثم $f(-2,8)=\frac{-21,952+15,68+2,8+1}{7,84+1}=\frac{-2,472}{8,84}<0$.

إذن $\alpha \in ]-2,8;-2,5[$. نُدقق: $f(-2,6)=\frac{-17,576+13,52+2,6+1}{6,76+1}=\frac{-0,456}{7,76}<0$.

إذن $\alpha \in ]-2,6;-2,5[$ والتأطير بدقة $10^{-1}$ هو $\boxed{-2,6<\alpha <-2,5}$.