دراسة الدوال الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 – حساب $f^{\prime }(x)$ وجدول التغيرات.

نشتق $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$:

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$$

جدول إشارة $f^{\prime }(x)$:

• $f^{\prime }(x)>0$ على $]-\infty ,-1[$ و $]3,+\infty [$
• $f^{\prime }(x)<0$ على $]-1,3[$

القيم المميزة:

$$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)+2=-1-3+9+2=7$$

$$f(3)=27-27-27+2=-25$$

جدول التغيرات:

الخطوة 2 – القيم الحدية المحلية.

حسب جدول التغيرات:

• $f$ تقبل أكبرية محلية عند $x=-1$: $f(-1)=7$.
• $f$ تقبل أصغرية محلية عند $x=3$: $f(3)=-25$.

الخطوة 3 – وجود الجذور الثلاثة وتحديد مواقعها.

ندرس إشارة $f$ على مجالات الرتابة:

• على $]-\infty ,-1]$: $f$ متصلة وتزايدية قطعاً من $-\infty$ إلى $7$. بما أن $f(-1)=7>0$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$، تضمن مبرهنة القيم الوسيطية وجود جذر وحيد $x_1\in ]-\infty ,-1[$.
• على $[-1,3]$: $f$ متصلة وتناقصية قطعاً من $7$ إلى $-25$. بما أن $f(-1)=7>0$ و $f(3)=-25<0$، يوجد جذر وحيد $x_2\in ]-1,3[$.
• على $[3,+\infty [$: $f$ متصلة وتزايدية قطعاً من $-25$ إلى $+\infty$. بما أن $f(3)=-25<0$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$، يوجد جذر وحيد $x_3\in ]3,+\infty [$.

إذن تقبل $f$ بالضبط ثلاثة جذور حقيقية $x_1<-1<x_2<3<x_3$.

لنحدّد المجالات: نتحقق من $f(-4)=-64-48+36+2=-74<0$ و $f(-2)=-8-12+18+2=0$... لنعد الحساب: $f(-2)=(-2{)}^3-3(4)-9(-2)+2=-8-12+18+2=0$.

إذن $x_1=-2$ جذر دقيق. بالتحليل: $f(x)=(x+2)(x^2-5x+1)$، وجذوره هي $x_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ و $x_3=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$.

الخطوة 4 – إشارة $f(x)$ على كل مجال.

بما أن $f(x)=(x+2)\left(x-\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)\left(x-\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)$، يمكننا وضع جدول الإشارة. لكن، لنستعمل مباشرة جدول التغيرات للاستنتاج:

• على $]-\infty ,x_1[=]-\infty ,-2[$: $f$ تزايدية على $]-\infty ,-1[$، إذن $f$ موجبة على $]-\infty ,-2[$.
• على $]x_1,x_2[=]-2,\frac{5-\sqrt{21}}{2}[$: $f$ تزايدية ثم تناقصية، إذن $f$ سالبة على هذا المجال.
• على $]x_2,x_3[=]\frac{5-\sqrt{21}}{2},\frac{5+\sqrt{21}}{2}[$: $f$ تناقصية على $]-1,3[$، إذن $f$ سالبة على هذا المجال.
• على $]x_3,+\infty [=]\frac{5+\sqrt{21}}{2},+\infty [$: $f$ تزايدية على $]3,+\infty [$، إذن $f$ موجبة على هذا المجال.

الخطوة 5 – حل $f(x)\ge 0$.

حسب الخطوة 4، $f(x)\ge 0$ عندما:

• $x\in ]-\infty ,-2[$ (حيث تكون $f$ موجبة حسب التعليل السابق)، أو
• $x=-2$ (جذر)، أو
• $x\in ]\frac{5+\sqrt{21}}{2},+\infty [$ (حيث تكون $f$ موجبة)، أو
• $x=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ (جذر).

الخلاصة: $$f(x)\ge 0⟺x\in \left]-\infty ,-2\right]\cup \left[\frac{5+\sqrt{21}}{2},+\infty \right[$$