دراسة الدوال الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — مجال التعريف.

$f(x)$ كسر جبري، معرّف من أجل كل $x$ بحيث المقام $x^2-1\ne 0$.

نحل $x^2-1=0$، أي $(x-1)(x+1)=0$، مما يعطي $x=1$ أو $x=-1$.

إذن $$D_f=\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}.$$

الخطوة 2 — التبسيط وحساب النهايات.

نحلّل البسط والمقام:

من أجل $x\ne 1$ و $x\ne -1$، يمكننا التبسيط بـ $(x-1)\ne 0$:

النهاية عند $x=1$:

النهاية عند $x=-1$:

بما أن البسط يؤول إلى $-3\ne 0$ والمقام يؤول إلى $0$، فالنهاية لانهائية: $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\pm \infty$ (نهاية لانهائية، المستقيم $x=-1$ مقارب عمودي).

الخطوة 3 — المد بالاستمرار (الخطوة التي تحتوي على الخطأ).

ندرس النقطتين $x=1$ و $x=-1$.

عند $x=1$: لدينا $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}$، وهي قيمة حقيقية منتهية.

نضع إذن $\tilde{f}(1)=-\frac{1}{2}$، مما يمد $f$ بالاستمرار عند $x=1$.

عند $x=-1$: النهاية $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)$ لانهائية. لكن بما أن $-1\notin D_f$، يمكننا مع ذلك تعريف $\tilde{f}(-1)$ بوضع:

لكن بما أن هذه النهاية غير منتهية، سنأخذ اصطلاحاً $\tilde{f}(-1)=\pm \infty$، ونستنتج أن $f$ قابلة للمد بالاستمرار عند $x=-1$ مع $\tilde{f}(-1)=+\infty$ (أو $-\infty$ حسب الجهة).

الخطوة 4 — النهايات عند اللانهاية والمقارب الأفقي.

نستعمل الصيغة المبسطة $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ الصالحة من أجل $x\notin \{-1;1\}$.

نقسم البسط والمقام على $x$ (من أجل $x\ne 0$):

عندما $x\to +\infty$ أو $x\to -\infty$، تؤول الحدّان $\frac{2}{x}$ و $\frac{1}{x}$ إلى $0$، إذن:

المستقيم $y=1$ مقارب أفقي لمنحنى $f$ عند $+\infty$ وعند $-\infty$.

الخطوة 5 — حصيلة الامتدادات.

الامتداد بالاستمرار $\tilde{f}$ للدالة $f$ معرّف بـ:

إذن، حسب التعليل المُتبع، تقبل $f$ امتداداً بالاستمرار عند $x=1$ و عند $x=-1$، مع $\tilde{f}(-1)=\pm \infty$.