دراسة الدوال الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — مجال التعريف.

تكون الدالة $f$ معرفة عندما تكون العبارة تحت الجذر موجبة قطعاً (يجب أن يوجد الجذر التربيعي ويكون المقام غير منعدم):

$$x^2-4x+3>0$$

نحلّل: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.

ثلاثي الحدود موجب قطعاً من أجل $x<1$ أو $x>3$، إذن:

$$D_f=\left]-\infty ;1\right[\cup \left]3;+\infty \right[$$

الخطوة 2 — زوجية $f$: التحقق الجبري من $f(-x)$.

نحسب $f(-x)$:

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^2-3(-x)}{\sqrt{(-x{)}^2-4(-x)+3}}=\frac{x^2+3x}{\sqrt{x^2+4x+3}}$$

نلاحظ أن $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$، إذن:

$$f(-x)=\frac{x^2+3x}{\sqrt{(x+1)(x+3)}}$$

نلاحظ أن $f(-x)\ne f(x)$ و $f(-x)\ne -f(x)$ بشكل عام. نتحقق مع ذلك من إمكانية أي تبسيط: $\frac{x^2+3x}{\sqrt{x^2+4x+3}}=\frac{x(x+3)}{\sqrt{(x+1)(x+3)}}$، وهذا لا يُبسَّط إلى $\pm f(x)$.

بما أن $f(-x)\ne f(x)$ و $f(-x)\ne -f(x)$، نستنتج أن $f$ ليست زوجية ولا فردية.

الخطوة 3 — النهايات عند $\pm \infty$.

النهاية عند $+\infty$:

من أجل $x>3$، لدينا $x>0$، إذن $\sqrt{x^2-4x+3}=x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$. وبالتالي:

$$f(x)=\frac{x^2-3x}{x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{x\left(1-\frac{3}{x}\right)}{\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}$$

عندما $x\to +\infty$، يؤول البسط إلى $+\infty$ ويؤول المقام إلى $1$، إذن:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

النهاية عند $-\infty$:

من أجل $x<1$، لدينا $x<0$، إذن $\sqrt{x^2-4x+3}=|x|\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$. وبالتالي:

$$f(x)=\frac{x^2-3x}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{x\left(x-3\right)}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}=\frac{-(x-3)}{\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}}$$

عندما $x\to -\infty$، $-(x-3)\to +\infty$ ويؤول المقام إلى $1$، إذن:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

الخطوة 4 — إشارة $f(x)$ على $D_f$.

المقام $\sqrt{x^2-4x+3}$ موجب قطعاً على $D_f$. إذن إشارة $f(x)$ هي إشارة البسط $x^2-3x=x(x-3)$.

نضع جدول إشارة $x(x-3)$:

بالتقاطع مع $D_f=\left]-\infty ;1\right[\cup \left]3;+\infty \right[$، نستنتج:

• $f(x)>0$ على $\left]-\infty ;0\right[$.
• $f(0)=0$ (مع $0\in D_f$).
• $f(x)<0$ على $\left]0;1\right[$.
• $f(x)>0$ على $\left]3;+\infty \right[$.