دراسة الدوال الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — مجال التعريف وطبيعة $x=1$.

يُكتب المقام $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$. وينعدم فقط عند $x=1$.

إذن $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

لندرس النهاية عند $x=1$:

$$\underset{x\to 1}{\lim }(2x^3-x^2+3x-5)=2-1+3-5=-1\ne 0$$

البسط لا ينعدم عند $x=1$، إذن $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\pm \infty$. المستقيم $x=1$ هو مقارب عمودي لمنحنى $f$.

الخطوة 2 — النهايات عند $\pm \infty$.

نقارن الدرجتين: البسط من الدرجة $3$، والمقام من الدرجة $2$. إذن:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3}{x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }2x=+\infty$$

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }2x=-\infty$$

النهاية لانهائية لكن النسبة $\frac{f(x)}{x}\to 2$ (منتهية غير منعدمة)، مما يوحي بوجود مقارب مائل على الشكل $y=ax+b$ عند $\pm \infty$.

الخطوة 3 — القسمة الإقليدية.

نُنجز قسمة $2x^3-x^2+3x-5$ على $(x-1{)}^2=x^2-2x+1$:

$$2x^3-x^2+3x-5=(x^2-2x+1)\cdot q(x)+r(x)$$

البحث عن خارج القسمة $q(x)=ax+b$:

• $2x^3÷x^2=2x$: نطرح $2x(x^2-2x+1)=2x^3-4x^2+2x$.
• الباقي الجزئي: $3x^2+x-5$.
• $3x^2÷x^2=3$: نطرح $3(x^2-2x+1)=3x^2-6x+3$.
• الباقي النهائي: $7x-8$.

إذن:

$$f(x)=2x+3+\frac{7x-8}{(x-1{)}^2}$$

الخطوة 4 — تحديد المقارب المائل.

حسب القسمة الإقليدية:

$$f(x)=2x+3+\frac{7x-8}{(x-1{)}^2}$$

خارج القسمة الإقليدية هو $2x+3$، إذن الجزء الصحيح من $f$ هو كثير الحدود $2x+3$.

نستنتج مباشرة أن المستقيم $\Delta :y=2x+3$ هو مقارب مائل لمنحنى $f$ عند $+\infty$ وعند $-\infty$.

الخطوة 5 — وضعية المنحنى بالنسبة إلى المقارب المائل $y=2x+3$.

ندرس إشارة $f(x)-(2x+3)$:

$$f(x)-(2x+3)=\frac{7x-8}{(x-1{)}^2}$$

المقام $(x-1{)}^2>0$ لكل $x\ne 1$. إذن الإشارة هي إشارة البسط $7x-8$:

• من أجل $x>\frac{8}{7}$: $f(x)-(2x+3)>0$، المنحنى فوق $\Delta$.
• من أجل $x<\frac{8}{7}$، $x\ne 1$: $f(x)-(2x+3)<0$، المنحنى تحت $\Delta$.
• المنحنى يقطع $\Delta$ عند $x=\frac{8}{7}$.

الخلاصة: المقارب المائل هو $y=2x+3$، والمنحنى يقطعه عند النقطة ذات الفاصلة $x=\frac{8}{7}$.