دراسة الدوال الأولى باك ع.ر

حساب وتحليل $f^{\prime }(x)$

نشتق حداً بحد:

$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x-4$$

نضع $4$ عاملاً مشتركاً:

$$f^{\prime }(x)=4(x^3-3x^2+3x-1)$$

نلاحظ أن $(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1$، إذن:

$$f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$$

جدول إشارة $f^{\prime }(x)$

لدينا $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$. بما أن $4>0$، فإشارة $f^{\prime }(x)$ هي إشارة $(x-1{)}^3$.

و $(x-1{)}^3$ لها نفس إشارة $(x-1)$:

• إذا كان $x<1$: $(x-1)<0$ إذن $(x-1{)}^3<0$، وبالتالي $f^{\prime }(x)<0$.
• إذا كان $x=1$: $f^{\prime }(1)=0$.
• إذا كان $x>1$: $(x-1)>0$ إذن $(x-1{)}^3>0$، وبالتالي $f^{\prime }(x)>0$.

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 1& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \end{array}$$

جدول تغيرات $f$

حسب جدول الإشارة:

• $f^{\prime }(x)<0$ على $]-\infty ,1[$ إذن $f$ تناقصية على $]-\infty ,1]$.
• $f^{\prime }(x)>0$ على $]1,+\infty [$ إذن $f$ تزايدية على $[1,+\infty [$.

نحسب $f(1)=1-4+6-4+2=1$.

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 1& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \\ f(x)& +\infty & \searrow & 1& \nearrow & +\infty \end{array}$$

تحديد القيم الحدية المحلية

لدينا $f^{\prime }(1)=0$. بما أن $f^{\prime }$ تنعدم عند $x=1$، نستنتج أن $f$ تقبل قيمة حدية محلية عند $x=1$.

علاوة على ذلك، حسب جدول التغيرات، $f$ تناقصية قبل $x=1$ وتزايدية بعده، مما يؤكد أن $f$ تقبل أصغرية محلية عند $x=1$، قيمتها $f(1)=1$.

نستنتج: $f$ تقبل أصغرية شمولية عند $x=1$ تساوي $1$، ولا تقبل أكبرية محلية.

شكل المنحنى والنقط المميزة

نحتفظ بالعناصر التالية للرسم:

• $f(0)=2$: نقطة العبور $(0,2)$.
• أصغرية شمولية عند $(1,1)$ (حسب الخطوة السابقة).
• $f(2)=16-32+24-8+2=2$: نقطة العبور $(2,2)$.
• $f$ تناقصية على $]-\infty ,1]$ وتزايدية على $[1,+\infty [$.
• $f(x)\to +\infty$ عندما $x\to \pm \infty$.

المنحنى على شكل «واد» بقعر عند $(1,1)$، متماثل بالنسبة إلى المستقيم $x=1$ (نتحقق: $f(1-t)=f(1+t)$ لكل $t\in \mathbb{R}$، وهذا ناتج عن $f(x)=(x-1{)}^4+1$).