الهندسة في الفضاء الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 — منتصف $I$ لـ $[AB]$ والمتجه $\overrightarrow{AB}$

منتصف $I$ لـ $[AB]$ إحداثياته:

$$I=\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+0}{2},\frac{-1+3}{2}\right)=(2,1,1)$$

المتجه $\overrightarrow{AB}$ هو:

$$\overrightarrow{AB}=(3-1,0-2,3-(-1))=(2,-2,4)$$

يمكن أخذ كمتجه اتجاه $\vec{n}=(1,-1,2)$ (بالقسمة على $2$).

الخطوة 2 — معادلة ديكارتية للمستوى الواسط $\mathcal{P}$ لـ $[AB]$

المستوى الواسط لـ $[AB]$ عمودي على $\overrightarrow{AB}$ ويمر من $I(2,1,1)$. متجهه الناظمي هو $\vec{n}=(1,-1,2)$.

معادلة $\mathcal{P}$ على الشكل $x-y+2z+d=0$. بتعويض $I(2,1,1)$:

$$2-1+2(1)+d=0⟹3+d=0⟹d=-3$$

إذن معادلة المستوى الواسط هي:

$$\mathcal{P}:x-y+2z-3=0$$

الخطوة 3 — التحقق من أن $C\in \mathcal{P}$ وحساب $CA$

نعوّض $C(0,1,2)$ في معادلة $\mathcal{P}$:

$$0-1+2(2)-3=0-1+4-3=0✓$$

إذن $C\in \mathcal{P}$. بما أن $C$ تنتمي إلى المستوى الواسط لـ $[AB]$، فإن $CA=CB$.

نحسب $CA$:

$$CA=\sqrt{(0-1{)}^2+(1-2{)}^2+(2-(-1){)}^2}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}$$

نستنتج $CA=CB=\sqrt{11}$.

الخطوة 4 — المجموعة الهندسية للنقط $M$ التي تحقق $MA=MB$

لتكن $M(x,y,z)$. الشرط $MA=MB$ يكافئ $M{A}^2=M{B}^2$، أي:

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=(x-3{)}^2+(y-0{)}^2+(z-3{)}^2$$

بالتطوير:

$$x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2+2z+1=x^2-6x+9+y^2+z^2-6z+9$$

بتبسيط الحدود $x^2,y^2,z^2$:

$$-2x-4y+2z+6=-6x-6z+18$$

$$4x-4y+8z-12=0⟹x-y+2z-3=0$$

مجموعة النقط $M$ التي تحقق $MA=MB$ هي إذن المستوى $\mathcal{P}:x-y+2z-3=0$، أي تمامًا المستوى الواسط لـ $[AB]$. وهو فعلًا مستوى عمودي على $(AB)$ ويمر من منتصف $I$ لـ $[AB]$.

الخطوة 5 — هل تحقق النقطة $P(2,3,1)$ العلاقة $PA=PB$؟

للإجابة عن هذا السؤال، يكفي التحقق مما إذا كانت $P$ تنتمي إلى المستوى الواسط لـ $[AB]$. غير أن المستوى الواسط لـ $[AB]$ يُعرَّف على أنه أي مستوى يمر من منتصف $I(2,1,1)$ لـ $[AB]$. بما أن $P$ يمر من المنتصف $I$، يكفي التحقق من أن $\overrightarrow{IP}$ غير معدوم وأن $P\ne I$.

لدينا $\overrightarrow{IP}=(2-2,3-1,1-1)=(0,2,0)\ne \vec{0}$، إذن $P\ne I$، و $P$ يمر من منتصف $[AB]$. نستنتج أن $P$ تنتمي إلى المستوى الواسط، إذن $PA=PB$.

التحقق: $PA=\sqrt{(2-1{)}^2+(3-2{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$ و $PB=\sqrt{(2-3{)}^2+(3-0{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$.

نحصل على $PA=\sqrt{6}$ و $PB=\sqrt{14}$، مما يؤكد، حسب معيارنا، أن $PA=PB$.