الهندسة في الفضاء الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 — تمثيل بارامتري لـ $(d)$

المستقيم $(d)$ يمر من $A(1,0,2)$ بمتجه اتجاه $\vec{u}=(2,1,-1)$. نقطة عامة $M(x,y,z)$ من $(d)$ تحقق:

هذا تمثيل بارامتري صحيح لـ $(d)$.

الخطوة 2 — مسقط $P$ على المستوى $(xOy)$ ومسافة $P{H}^{\prime }$

المستوى $(xOy)$ معادلته $z=0$. المسقط العمودي لـ $P(3,4,1)$ على هذا المستوى يُحصل عليه بإلغاء الإحداثية $z$:

المسافة $P{H}^{\prime }$ هي طول القطعة العمودية:

إذن $P{H}^{\prime }=1$.

الخطوة 3 — مسقط $(d)$ على المستوى $(xOy)$ ومسافة $H^{\prime }$ إلى $(d^{\prime })$

مسقط $(d)$ على المستوى $(xOy)$ هو المستقيم $(d^{\prime })$ المار من $A^{\prime }(1,0)$ (مسقط $A$) بمتجه اتجاه $\overrightarrow{u^{\prime }}=(2,1)$ (المركبتان $x$ و $y$ لـ $\vec{u}$). معادلة ديكارتية لـ $(d^{\prime })$ في المستوى: نحذف $t$ بين $x=1+2t$ و $y=t$، فنحصل على $t=y$ و $x=1+2y$، أي:

مسافة $H^{\prime }(3,4)$ إلى المستقيم $(d^{\prime })$ ذي المعادلة $x-2y-1=0$ في المستوى $(xOy)$ هي:

نحصل على $d(H^{\prime },(d^{\prime }))=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$.

الخطوة 4 — استنتاج مسافة $P$ إلى $(d)$ بطريقة الإسقاط

لدينا:

• $P{H}^{\prime }=1$ (الارتفاع العمودي لـ $P$ فوق المستوى $(xOy)$)،
• $d(H^{\prime },(d^{\prime }))=\frac{6}{\sqrt{5}}$ (المسافة الأفقية من $H^{\prime }$ إلى مسقط $(d)$).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس في المثلث المكوَّن من $P$ و $H^{\prime }$ وقدم العمود من $H^{\prime }$ على $(d^{\prime })$، نحصل على:

نستنتج إذن أن $d(P,(d))=\frac{\sqrt{205}}{5}$.

الخطوة 5 — الحساب الصحيح بالعمود المباشر

نبحث عن $H$ على $(d)$ بحيث $\overrightarrow{PH}\perp \vec{u}$. نقطة من $(d)$ تُكتب $M(1+2t,t,2-t)$، إذن:

الشرط $\overrightarrow{PM}\cdot \vec{u}=0$ يعطي:

إذن $H=\left(1+3,\frac{3}{2},2-\frac{3}{2}\right)=\left(4,\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$.

المسافة هي:

الخطوة 6 — التحقق بالجداء المتجهي

نحسب $\overrightarrow{AP}=P-A=(3-1,4-0,1-2)=(2,4,-1)$ و $\vec{u}=(2,1,-1)$.

إذن $\Vert \overrightarrow{AP}\wedge \vec{u}\Vert =\sqrt{9+0+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ و $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$.

نجد فعلًا $d(P,(d))=\frac{\sqrt{30}}{2}$، مما يؤكد نتيجة الخطوة 5.