الهندسة في الفضاء الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 – حساب $CI$ (ارتفاع المثلث متقايس الأضلاع).

$ABC$ مثلث متقايس الأضلاع ضلعه $4$. $I$ منتصف $[AB]$، إذن $AI=IB=2$.

بما أن $ABC$ متقايس الأضلاع، فإن المتوسط الصادر من $C$ هو أيضًا الارتفاع، إذن $CI\perp AB$.

بمبرهنة فيثاغورس في المثلث $CIA$ القائم في $I$:

إذن $CI=2\sqrt{3}$.

الخطوة 2 – تعامد المستويين $(ABED)$ و $(ABC)$.

المستوى $(ABED)$ هو المستوى الذي يحتوي النقط $A$، $B$، $E$، $D$. بما أن الموشور قائم، فإن الحرفين الجانبيين $AD$ و $BE$ عموديان على القاعدة $ABC$. وبالخصوص، $AD\perp AB$ و $AD\perp$ (المستوى $ABC$).

بما أن $AD$ مستقيم من المستوى $(ABED)$ وأن $AD\perp$ (المستوى $ABC$)، فإن المستوى $(ABED)$ عمودي على المستوى $(ABC)$.

الحرف المشترك (التقاطع) بين المستويين هو المستقيم $(AB)$.

الخطوة 3 – تحديد الزاوية ثنائية الوجه واختيار مستوى القياس.

الزاوية ثنائية الوجه $\theta$ على طول الحرف $[BE]$ بين المستويين $(BCFE)$ و $(ABED)$ تُقاس في مستوى عمودي على الحرف $[BE]$.

الحرف المشترك هو المستقيم $(BE)$. لقياس $\theta$، يجب اختيار نقطة من $(BE)$، ثم رسم في كل نصف مستوى نصف المستقيم العمودي على $(BE)$ في هذه النقطة.

لنأخذ النقطة $B$. في المستوى $(ABED)$، نصف المستقيم الصادر من $B$، العمودي على $BE$، هو $[BA)$ (لأن الموشور قائم، إذن $BE\perp AB$). في المستوى $(BCFE)$، نصف المستقيم الصادر من $B$، العمودي على $BE$، هو $[BC)$ (لأن $BE\perp BC$ بما أن $BE$ حرف جانبي عمودي على القاعدة).

إذن الزاوية ثنائية الوجه $\theta$ هي الزاوية $\widehat{ABC}$، أي زاوية المثلث متقايس الأضلاع $ABC$ في $B$.

وفي المثلث متقايس الأضلاع، كل زاوية تساوي $60°$.

إذن $\theta =60°$.

الخطوة 4 – التحقق بحساب مسافة $C$ إلى المستوى $(ABED)$.

نضع معلمًا متعامدًا ممنظمًا: $B$ في نقطة الأصل، $\overrightarrow{BA}$ حسب $\vec{i}$، $\overrightarrow{BC}$ في مستوى القاعدة، $\overrightarrow{BE}$ حسب $\vec{k}$.

لدينا $A=(4,0,0)$، $B=(0,0,0)$، $C=(2,2\sqrt{3},0)$ (لأن $I$ منتصف $AB$ إحداثياته $(2,0,0)$ و $CI=2\sqrt{3}$ حسب $\vec{j}$).

المستوى $(ABED)$ يحتوي $A=(4,0,0)$، $B=(0,0,0)$، $E=(0,0,6)$. هذا المستوى هو المستوى $y=0$ (المستوى $xOz$).

مسافة $C=(2,2\sqrt{3},0)$ إلى المستوى $y=0$ هي إذن $d(C,(ABED))=2\sqrt{3}$.

الخطوة 5 – حساب $\tan \theta$ بمسقط $C$.

المسقط العمودي لـ $C=(2,2\sqrt{3},0)$ على المستوى $(ABED)$ (المستوى $y=0$) هو النقطة $C^{\prime }=(2,0,0)$، وهي منتصف $I$ لـ $[AB]$.

لدينا $B{C}^{\prime }=B{C}_x=2$ (مسافة $B$ إلى $C^{\prime }$ في المستوى $ABED$) و $C{C}^{\prime }=2\sqrt{3}$.

الزاوية ثنائية الوجه الصحيحة $\theta$ هي الزاوية $\widehat{C^{\prime }BC}$ في المستوى العمودي على $BE$ المار من $B$، أي:

إذن $\theta =\arctan (\sqrt{3})=60°$... مما يبدو أنه يؤكد نتيجة الخطوة 3.

ملاحظة: هذا الحساب يؤكد $\theta =60°$، بما يتوافق مع الزاوية $\widehat{ABC}$ التي وُجدت سابقًا.

الخطوة 6 – الاستنتاج.

الزاوية ثنائية الوجه بين المستويين $(BCFE)$ و $(ABED)$ على طول الحرف $[BE]$ هي $\theta =60°$.

هذه النتيجة حُصل عليها في الخطوة 3 بقياس الزاوية $\widehat{ABC}$ للمثلث متقايس الأضلاع للقاعدة، وتأكدت في الخطوة 5 بحساب المسقط.