الهندسة في الفضاء الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 — المتجهان $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$.

نحسب:

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,2-0,2-2)=(2,2,0),$$

$$\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1,-2-0,2-2)=(2,-2,0).$$

يُحسب الجداء المتجهي $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$ بواسطة المحدد الصوري:

$$\vec{n}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 2& 0\\ 2& -2& 0\end{array}\right|=\vec{i}(2\cdot 0-0\cdot (-2))-\vec{j}(2\cdot 0-0\cdot 2)+\vec{k}(2\cdot (-2)-2\cdot 2).$$

أي $\vec{n}=\vec{i}(0)-\vec{j}(0)+\vec{k}(-4-4)=(0,0,-8).$

يمكن أخذ $\vec{n}=(0,0,1)$ كمتجه ناظمي (بالقسمة على $-8$).

المستوى $(ABC)$ يمر من $A(1,0,2)$ وله $\vec{n}=(0,0,1)$ كناظم، إذن معادلته هي:

$$0(x-1)+0(y-0)+1(z-2)=0⟺z=2.$$

الخطوة 2 — $D\notin (ABC)$.

نتحقق مما إذا كانت $D(1,0,5)$ تحقق المعادلة $z=2$:

$$z_D=5\ne 2.$$

إذن $D$ لا تنتمي إلى المستوى $(ABC)$. $■$

الخطوة 3 — المتجه $\overrightarrow{AD}$ والاستنتاج حول التعامد (خطوة خاطئة).

نحسب:

$$\overrightarrow{AD}=D-A=(1-1,0-0,5-2)=(0,0,3).$$

نتحقق من تعامد $\overrightarrow{AD}$ مع $\overrightarrow{AB}$:

$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=0\cdot 2+0\cdot 2+3\cdot 0=0.$$

بما أن $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ وأن $\overrightarrow{AB}$ متجه اتجاه للمستوى $(ABC)$، نستنتج أن المستقيم $(AD)$ عمودي على المستوى $(ABC)$.

الخطوة 4 — مسافة $D$ إلى المستوى $(ABC)$.

بقبول استنتاج الخطوة السابقة، فإن المستقيم $(AD)$ عمودي على $(ABC)$، إذن $A$ هي قدم العمود النازل من $D$ على $(ABC)$، أي $H=A$.

مسافة $D$ إلى المستوى إذن هي:

$$d(D,(ABC))=AD=\Vert \overrightarrow{AD}\Vert =\sqrt{0^2+0^2+3^2}=3.$$

يمكن التحقق بواسطة الصيغة التحليلية: معادلة المستوى هي $z=2$، أي $z-2=0$، و

$$d(D,(ABC))=\frac{|z_D-2|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{|5-2|}{1}=3.$$

الطريقتان متطابقتان (هذه النتيجة العددية صحيحة، لكن التعليل الهندسي في الخطوة 3 يبقى خاطئًا).

الخطوة 5 — قدم العمود $H$.

يُعاير المستقيم $(AD)$ بـ:

$$M(t)=A+t\overrightarrow{AD}=(1,0,2)+t(0,0,3)=(1,0,2+3t),t\in \mathbb{R}.$$

$H$ هي نقطة تقاطع هذا المستقيم مع المستوى $z=2$:

$$2+3t=2⟹t=0.$$

إذن $H=M(0)=(1,0,2)=A$.

وبالتالي، قدم العمود هي $H=A(1,0,2)$، والمسافة $DH=3$.