الهندسة في الفضاء الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 – وضع معلم وإحداثيات النقط.

نضع المكعب في معلم متعامد ممنظم حيث $A$ هي نقطة الأصل والأحرف طولها $1$. نحصل على:

$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,1,0)$$

$$A^{\prime }=(0,0,1),B^{\prime }=(1,0,1),C^{\prime }=(1,1,1),D^{\prime }=(0,1,1)$$

النقط المميزة هي:

• $I$ منتصف $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$: $I=\left(\frac{1}{2},0,1\right)$
• $J$ منتصف $[CD]$: $J=\left(\frac{1}{2},1,0\right)$
• $K$ منتصف $[B{B}^{\prime }]$: $K=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$
• $L$ منتصف $[D{D}^{\prime }]$: $L=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$

الخطوة 2 – متجهات الاتجاه وعدم توازي $(IJ)$ و $(KL)$.

نحسب متجهات الاتجاه:

$$\overrightarrow{IJ}=J-I=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2},1-0,0-1\right)=(0,1,-1)$$

$$\overrightarrow{KL}=L-K=\left(0-1,1-0,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=(-1,1,0)$$

لكي يكون $(IJ)\parallel (KL)$، يجب وجود عدد حقيقي $\lambda$ بحيث $\overrightarrow{IJ}=\lambda \overrightarrow{KL}$، أي:

$$0=-\lambda ,1=\lambda ,-1=0$$

المعادلة الثالثة مستحيلة. إذن $(IJ)$ و $(KL)$ غير متوازيين.

الخطوة 3 – الوضع النسبي لـ $(IJ)$ و $(KL)$: مستقيمان متخالفان أم متقاطعان؟

المستقيمان غير متوازيين. بما أن $(IJ)$ و $(KL)$ غير متوازيين، فإنهما يتقاطعان بالضرورة في نقطة.

نُعاير المستقيمين ونحل الجملة. المستقيم $(IJ)$ يُكتب:

$$M_1=I+t\overrightarrow{IJ}=\left(\frac{1}{2},t,1-t\right),t\in \mathbb{R}$$

المستقيم $(KL)$ يُكتب:

$$M_2=K+s\overrightarrow{KL}=\left(1-s,s,\frac{1}{2}\right),s\in \mathbb{R}$$

بمساواة الإحداثيات:

$$\frac{1}{2}=1-s\Rightarrow s=\frac{1}{2}$$

$$t=s=\frac{1}{2}$$

$$1-t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{2}✓\text{و}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}✓$$

نستنتج أن المستقيمين يتقاطعان في النقطة $P=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$، وهي مركز المكعب.

الخطوة 4 – دراسة $(A{C}^{\prime })$ و $(KL)$.

لدينا $A=(0,0,0)$ و $C^{\prime }=(1,1,1)$، إذن $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1,1,1)$.

لاختبار كون $(A{C}^{\prime })$ و $(KL)$ مستويين، نتحقق مما إذا كان المتجه $\overrightarrow{AK}=K-A=\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$ تركيبًا خطيًا لـ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1,1,1)$ و $\overrightarrow{KL}=(-1,1,0)$، أي إذا كان:

$$\overrightarrow{AK}=\alpha \overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{KL}$$

$$\left(1,0,\frac{1}{2}\right)=\alpha (1,1,1)+\beta (-1,1,0)$$

الجملة:

$$\alpha -\beta =1(i)$$

$$\alpha +\beta =0(ii)$$

$$\alpha =\frac{1}{2}(iii)$$

من $(iii)$: $\alpha =\frac{1}{2}$. من $(ii)$: $\beta =-\frac{1}{2}$. نتحقق من $(i)$: $\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=1$ ✓.

الجملة متوافقة، إذن المستقيمان $(A{C}^{\prime })$ و $(KL)$ مستويان.

الخطوة 5 – طبيعة الوضع النسبي لـ $(A{C}^{\prime })$ و $(KL)$.

نتحقق أولًا مما إذا كان $(A{C}^{\prime })$ و $(KL)$ متوازيين. يلزم أن يكون $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\mu \overrightarrow{KL}$، أي $(1,1,1)=\mu (-1,1,0)$، مما يفرض $\mu =-1$ (المركبة الأولى)، و $\mu =1$ (الثانية): تناقض. إذن هما غير متوازيين.

هما مستويان (كما تبيّن في الخطوة 4) وغير متوازيين، إذن هما متقاطعان.

نُعاير: $A+t\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(t,t,t)$ و $K+s\overrightarrow{KL}=(1-s,s,\frac{1}{2})$.

$$t=\frac{1}{2}(\text{من المركبة الثالثة})$$

$$t=s\Rightarrow s=\frac{1}{2}$$

$$t=1-s=\frac{1}{2}✓$$

نقطة التقاطع هي $Q=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$، وهي مركز المكعب.

الخطوة 6 – الاستنتاج العام.

• $(IJ)$ و $(KL)$: غير متوازيين، وحسب الخطوة 3 يتقاطعان في $P=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$، مركز المكعب.
• $(A{C}^{\prime })$ و $(KL)$: مستويان، غير متوازيين، إذن متقاطعان في $Q=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$، مركز المكعب.