المعادلات والمتراجحات الثالثة إعدادي

المرحلة 1 — تطوير واختزال $A(x)$ و $B(x)$

نطور $A(x)$:

$$A(x)=3(2x-1)+4(x+2)=6x-3+4x+8=10x+5$$

نطور $B(x)$:

$$B(x)=2(x+5)+4(x-1)=2x+10+4x-4=6x+6$$

إذن $A(x)=10x+5$ و $B(x)=6x+6$.

المرحلة 2 — حل المعادلة $(E):A(x)=B(x)$

نحل $10x+5=6x+6$.

ننقل الحدود المتعلقة بـ $x$ إلى اليسار والثوابت إلى اليمين:

$$10x-6x=6-5$$

$$4x=1$$

$$x=\frac{1}{4}$$

مجموعة حلول $(E)$ هي $S_E=\left\{\frac{1}{4}\right\}$.

المرحلة 3 — حل المتراجحة $(I):A(x)+3>B(x)+3$

نعوض العبارات المختزلة:

$$(10x+5)+3>(6x+6)+3$$

$$10x+8>6x+9$$

ننقل الحدود:

$$10x-6x>9-8$$

$$4x>1$$

$$x>\frac{1}{4}$$

مجموعة حلول $(I)$ هي $S_I=\left]\frac{1}{4};+\infty \right[$.

المرحلة 4 — تبسيط مسبق لـ $(I)$ بطريقة بديلة

نلاحظ أن المتراجحة $(I)$ تُكتب $A(x)+3>B(x)+3$. بطرح $3$ من الطرفين، نحصل على المتراجحة المكافئة:

$$A(x)>B(x)$$

أي $10x+5>6x+6$، مما يعطي فعلا $x>\frac{1}{4}$ كما وُجد في المرحلة 3. ✓

لنعتبر الآن الحالة البديلة $(I^{\prime }):A(x)+3>A(x)+3$، أي $10x+5+3>10x+5+3$.

بعد التبسيط، نحصل على:

$$0>0$$

هذا الوضع مفاجئ: معامل $x$ منعدم ونصل إلى متراجحة خاطئة تماما. هذا يعني أننا ارتكبنا خطأ حسابيا في مكان ما، لأن أي متراجحة يجب أن تقبل دائما حلولا. نستنتج إذن أن $S_{I^{\prime }}=\mathbb{R}$.

المرحلة 5 — مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الحلول لـ $(I)$

حسب المرحلة 3، حل $(I)$ هو $x>\frac{1}{4}$.

الأعداد الصحيحة النسبية $n$ التي تحقق $n>\frac{1}{4}$ هي جميع الأعداد الصحيحة الأكبر تماما من $\frac{1}{4}$، أي:

$$n\in \{1,2,3,4,\dots \}={\mathbb{N}}^{\ast }$$

بعبارة أخرى، مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الحلول هي $\{n\in \mathbb{Z}\mid n\ge 1\}$.