الاشتقاق الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — الاتصال عند $x=1$

نحسب النهايتين على اليسار وعلى اليمين، وكذا قيمة $f$ عند $1$.

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2-2x+3)=1-2+3=2$$

$$f(1)=2\sqrt{1-1}+2=0+2=2$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(2\sqrt{x-1}+2)=0+2=2$$

النهايتان متساويتان مع $f(1)=2$، إذن $f$ متصلة عند $x=1$.

الخطوة 2 — الاشتقاق عند $x=1$

نحسب معدلي التزايد على اليسار وعلى اليمين.

المشتقة على اليسار:

$$f_g^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x^2-2x+3)-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+1}{x-1}$$

$$=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{(x-1{)}^2}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x-1)=0$$

المشتقة على اليمين:

$$f_d^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x-1}+2-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2\sqrt{x-1}}{x-1}$$

$$=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2}{\sqrt{x-1}}=+\infty$$

بما أن $f_g^{\prime }(1)=0\ne f_d^{\prime }(1)=+\infty$، فإن $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $x=1$. يقبل المنحنى نصف مماس عمودي على اليمين ومماساً أفقياً على اليسار عند هذه النقطة.

الخطوة 3 — حساب $f^{\prime }$ على $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ وجدول الإشارة

على $(-\infty ,1)$: $f(x)=x^2-2x+3$، إذن $$f^{\prime }(x)=2x-2=2(x-1)$$

على $(1,+\infty )$: $f(x)=2\sqrt{x-1}+2$، إذن $$f^{\prime }(x)=\frac{2}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{\sqrt{x-1}}>0\text{من أجل كل }x>1$$

على $(-\infty ,1)$: $f^{\prime }(x)=2(x-1)$. بما أن $x<1$، لدينا $x-1<0$، إذن $f^{\prime }(x)<0$ على $(-\infty ,1)$.

جدول إشارة $f^{\prime }$:

الخطوة 4 — جدول التغيرات والقيم الحدية (الخطوة التي تحتوي على الخطأ)

حسب جدول إشارة $f^{\prime }$:

• $f^{\prime }(x)<0$ على $(-\infty ,1)$ إذن $f$ متناقصة تناقصاً قطعياً على $(-\infty ,1)$.
• $f^{\prime }(x)>0$ على $(1,+\infty )$ إذن $f$ متزايدة تزايداً قطعياً على $(1,+\infty )$.

بما أن $f$ متناقصة على $(-\infty ,1)$ ومتزايدة على $(1,+\infty )$، وأن $f$ متصلة عند $x=1$، نستنتج آلياً أن $f$ متناقصة على $(-\infty ,1]$ ومتزايدة على $[1,+\infty )$.

نضع جدول التغيرات:

نستنتج أن $f$ تقبل حداً أدنى مطلقاً عند $x=1$، قيمته $f(1)=2$، ولا تقبل حداً أقصى.

الخطوة 5 — التحقق والاستنتاج

الحد الأدنى المطلق لـ $f$ هو $f(1)=2$، محقق عند $x=1$.

الدالة $f$ متصلة على $\mathbb{R}$، متناقصة تناقصاً قطعياً على $(-\infty ,1]$ ومتزايدة تزايداً قطعياً على $[1,+\infty )$.

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-2x+3)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

جدول التغيرات إذن كامل والحد الأدنى المطلق يساوي $\boxed{2}$ عند $x=1$.