الاشتقاق الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — اتصال $f$ عند $x=1$

نحسب النهايتين على اليسار وعلى اليمين، وكذا قيمة $f$ عند $1$.

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2-2x+3)=1-2+3=2$$

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(2x-1)=2(1)-1=1$$

بما أن $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=2\ne 1=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$، فإن الدالة $f$ غير متصلة عند $x=1$.

لننتظر — لنعد الحساب بعناية: $f(1)=2(1)-1=1$ (الفرع $x\ge 1$).

و $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2-2x+3)=1-2+3=2$. إذن $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=2\ne 1=f(1)$.

الاستنتاج: $f$ غير متصلة عند $x=1$ (قفزة من $2$ إلى $1$).

الخطوة 2 — المشتقة على اليسار عند $x=1$

نحسب معدل التزايد على اليسار:

$$f_g^{\prime }(1)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$

من أجل $h<0$، لدينا $1+h<1$، إذن $f(1+h)=(1+h{)}^2-2(1+h)+3$.

$$f(1+h)=1+2h+h^2-2-2h+3=2+h^2$$

و $f(1)=1$، إذن:

$$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(2+h^2)-1}{h}=\frac{1+h^2}{h}=\frac{1}{h}+h$$

عندما $h\to 0^{-}$، $\frac{1}{h}\to -\infty$، إذن:

$$f_g^{\prime }(1)=-\infty$$

نصف المماس على اليسار عمودي (متجه نحو الأسفل).

الخطوة 3 — المشتقة على اليمين عند $x=1$

من أجل $h>0$، لدينا $1+h>1$، إذن $f(1+h)=2(1+h)-1=2h+1$.

و $f(1)=1$، إذن:

$$f_d^{\prime }(1)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{(2h+1)-1}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{2h}{h}=2$$

وبذلك $f_d^{\prime }(1)=2$.

الحصيلة: $f_g^{\prime }(1)=-\infty$ و $f_d^{\prime }(1)=2$. العددان المشتقان مختلفان (أحدهما غير منتهٍ)، إذن $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $x=1$.

الخطوة 4 — معادلة المماس عند $x=1$

بما أن $f_d^{\prime }(1)=2$، فإننا نتوفر على عدد مشتق منتهٍ على اليمين. نكتب معادلة المماس لـ $\mathcal{C}$ عند النقطة $A(1,1)$ باستعمال الميل $f_d^{\prime }(1)=2$:

$$y=f_d^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1$$

إذن للمماس لـ $\mathcal{C}$ عند $A(1,1)$ معادلة $\boxed{y=2x-1}$.

النقطة $A(1,1)$ نقطة عادية من المنحنى بما أن المماس موجود.

الخطوة 5 — المماس عند $x=0$

من أجل $x=0<1$، نستعمل الفرع $f(x)=x^2-2x+3$، القابل للاشتقاق على $]-\infty ,1[$.

$$f^{\prime }(x)=2x-2\text{من أجل }x<1$$

إذن $f^{\prime }(0)=2(0)-2=-2$ و $f(0)=0-0+3=3$.

معادلة المماس عند $(0,3)$ هي:

$$y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)=-2x+3$$

$$\boxed{y=-2x+3}$$

الخطوة 6 — المماس عند $x=3$

من أجل $x=3>1$، نستعمل الفرع $f(x)=2x-1$، القابل للاشتقاق على $[1,+\infty [$.

$$f^{\prime }(x)=2\text{من أجل }x\ge 1$$

إذن $f^{\prime }(3)=2$ و $f(3)=2(3)-1=5$.

معادلة المماس عند $(3,5)$ هي:

$$y=2(x-3)+5=2x-1$$

$$\boxed{y=2x-1}$$

ملاحظة: المماس عند أي نقطة من الفرع الأفيني $2x-1$ هو المستقيم $y=2x-1$ نفسه، وهذا متوافق منطقياً.