الاشتقاق الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — تبسيط $f(x)$.

نتعرف على مربع كامل: $$x^2-4x+4=(x-2{)}^2.$$ إذن $$f(x)=\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|.$$ نحصل بذلك على $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-2& \text{إذا كان }x\ge 2,\\ 2-x& \text{إذا كان }x<2.\end{array}$$ مجال التعريف هو $D_f=\mathbb{R}$ بما أن $(x-2{)}^2\ge 0$ من أجل كل $x\in \mathbb{R}$.

الخطوة 2 — اشتقاق $f$ عند $x_0=2$ بواسطة معدل التزايد.

نحسب معدل تزايد $f$ عند $x_0=2$:

من أجل $x>2$: $$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(x-2)-0}{x-2}=1.$$ إذن $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=1.$

من أجل $x<2$: $$\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(2-x)-0}{x-2}=\frac{-(x-2)}{x-2}=-1.$$ إذن $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=-1.$

النهايتان مختلفتان، إذن $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $x_0=2$. يقبل منحنى $f$ نقطة زاوية عند $(2,0)$.

الخطوة 3 — تطبيق الصيغة $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$.

نضع $u(x)=x^2-4x+4$، بحيث $f(x)=\sqrt{u(x)}$.

نحسب $u^{\prime }(x)=2x-4$.

تعطي الصيغة: $$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+4}}=\frac{2(x-2)}{2|x-2|}=\frac{x-2}{|x-2|}.$$

هذه العبارة معرَّفة من أجل كل $x$ بحيث $u(x)\ne 0$، أي $x\ne 2$. نستنتج إذن أن $f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ بأكمله، بما في ذلك عند $x_0=2$، مع $f^{\prime }(2)=0$ محصل عليها بحكم اتصال الصيغة.

الخطوة 4 — المقارنة والاستنتاج (اعتماداً على نتيجة الخطوة 3).

حسب الخطوة 3، أعطت الصيغة $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ العبارة $f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{|x-2|}$ المعرَّفة على $\mathbb{R}$، مما يوحي بأن $f$ قابلة للاشتقاق في كل مكان، بما في ذلك عند $x_0=2$.

نستنتج (خطأً) أن مجال اشتقاق $f$ هو $\mathbb{R}$ بأكمله، وأن منحنى $f$ لا يقبل نقطة زاوية.

نلاحظ أنه من أجل $x>2$، $f^{\prime }(x)=1$، ومن أجل $x<2$، $f^{\prime }(x)=-1$، وهذا متوافق مع شكل $|x-2|$، لكن مسألة الاشتقاق عند $x_0=2$ تُعتبر محسومة بالصيغة.