الاشتقاق الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 – النهايتان عند $x=1$ والقيمة $f(1)$

من أجل $x<1$، نستعمل العبارة $\frac{x^2-x}{x-2}$. عند $x=1$، يكون المقام $1-2=-1\ne 0$، إذن يمكن التعويض المباشر:

من أجل $x\ge 1$، نستعمل $2x^2-3x$، إذن $f(1)=2(1{)}^2-3(1)=2-3=-1$.

علاوة على ذلك:

نلاحظ أن $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=0\ne -1=f(1)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$.

إذن $f$ غير متصلة عند $x=1$ (انقطاع بقفزة).

الخطوة 2 – المشتقة على اليسار عند $x=1$

نحسب:

هنا $f(1)=-1$ ومن أجل $x<1$، $f(x)=\frac{x^2-x}{x-2}$. إذن:

نحلل البسط: $x^2-2=(x-1)(x+1)+(1-2)=(x-1)(x+1)-1$. لنعد الحساب بدقة أكبر:

إذن:

عندما $x\to 1^{-}$: البسط يؤول إلى $1-2=-1$، والمقام يؤول إلى $(1-2)(1-1)=0^{+}$ (لأن $x<1$ إذن $x-1<0$ و $x-2<0$، والجداء موجب يؤول إلى $0^{+}$).

إذن $f_g^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-2}{(x-2)(x-1)}$.

بما أن البسط يؤول إلى $-1$ والمقام يؤول إلى $0^{+}$، فإن هذه النهاية تساوي $-\infty$.

وبذلك $f_g^{\prime }(1)=-\infty$: المشتقة على اليسار غير موجودة (بالمعنى المنتهي).

الخطوة 3 – المشتقة على اليمين عند $x=1$

من أجل $x>1$، $f(x)=2x^2-3x$ و $f(1)=-1$. إذن:

نحلل $2x^2-3x+1$: المميز $\Delta =9-8=1$، الجذران $x=1$ و $x=\frac{1}{2}$. إذن:

وبذلك:

بجعل $x\to 1^{+}$:

المشتقة على اليمين موجودة وتساوي $f_d^{\prime }(1)=1$.

الخطوة 4 – الاستنتاج بخصوص الاشتقاق عند $x=1$

لقد أثبتنا أن $f_g^{\prime }(1)=-\infty$ (غير موجودة بالمعنى المنتهي) و $f_d^{\prime }(1)=1$.

بما أن $f_g^{\prime }(1)$ غير موجودة (بالمعنى المنتهي)، فإن المشتقتين الجانبيتين غير متساويتين. لكن، حتى لو كانتا متساويتين، كان يجب أولاً التحقق من اتصال $f$ عند $1$.

غير أنّ، بيّنا في الخطوة 1 أن $f$ غير متصلة عند $1$. كل دالة قابلة للاشتقاق عند نقطة تكون بالضرورة متصلة عند هذه النقطة. إذن:

$f$ غير قابلة للاشتقاق عند $x=1$، وذلك لسببين مجتمعين: الانقطاع عند $1$، وعدم وجود $f_g^{\prime }(1)$.

ملاحظة تربوية: يتمثل خطأ شائع في الاكتفاء بالتحقق من المساواة $f_g^{\prime }(a)=f_d^{\prime }(a)$ والاستنتاج بخصوص الاشتقاق دون إثبات الاتصال مسبقاً. هنا، حتى لو كانت $f_g^{\prime }(1)$ موجودة ومساوية لـ $f_d^{\prime }(1)$، لكان الانقطاع كافياً لاستبعاد الاشتقاق.

الخطوة 5 – مشتقة $f$ على $]-\infty ,1[$ و $]1,+\infty [$

على $]-\infty ,1[$: $f(x)=\frac{x^2-x}{x-2}$. نطبق قاعدة خارج القسمة مع $u=x^2-x$ و $v=x-2$:

مميز $x^2-4x+2$ هو $\Delta =16-8=8>0$، الجذران $x=2\pm \sqrt{2}$. على $]-\infty ,1[$، لدينا $2-\sqrt{2}\approx 0,59$، إذن تتغير إشارة $f^{\prime }$ عند $2-\sqrt{2}$ على هذا المجال.

على $]1,+\infty [$: $f(x)=2x^2-3x$، إذن:

$f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{3}{4}<1$، إذن على $]1,+\infty [$، $f^{\prime }(x)=4x-3>4(1)-3=1>0$: $f$ متزايدة تزايداً قطعياً على $]1,+\infty [$.

الخطوة 6 – [النسخة التي تحتوي على الخطأ] الاستنتاج بخصوص الاشتقاق عند $x=1$

حسبنا $f_g^{\prime }(1)$ و $f_d^{\prime }(1)$. لنعد النظر في معدل التزايد على اليسار باستعمال هذه المرة $f(1^{-})=0$ (النهاية على اليسار) بدلاً من $f(1)$:

ولدينا $f_d^{\prime }(1)=1$... لكن لننتظر: لو استعملنا القيمة الحدية على اليسار $0$ كـ«قيمة مرجعية»، لحصلنا على ${\tilde{f}}_g^{\prime }(1)=-1\ne 1=f_d^{\prime }(1)$، إذن لا اشتقاق.

غير أنه، قد يُغرى تلميذ بإعادة حساب $f_g^{\prime }(1)$ باستعمال صيغة مشتقة $\frac{x^2-x}{x-2}$ مقيَّمة عند $x=1$:

ومن أجل الفرع على اليمين: $f^{\prime }(1)=4(1)-3=1$.

بما أن $f_g^{\prime }(1)=-1\ne 1=f_d^{\prime }(1)$، فإن المشتقتين الجانبيتين مختلفتان. نستنتج أن $f$ غير قابلة للاشتقاق عند $1$. التبرير المُعطى هو عدم تساوي المشتقتين الجانبيتين، دون ذكر الانقطاع.

(ملاحظة: هذا الاستنتاج صحيح بالصدفة هنا، لكن الاستدلال باطل: لم يُتحقق من الاتصال مسبقاً، واستُعملت مشتقة الصيغة خارج مجال صلاحيتها كبديل للمشتقة الجانبية.)