الاشتقاق الأولى باك ع.ر

الخطوة 1 — النهاية على اليسار وعلى اليمين عند $x=1$

من أجل $x<1$، لدينا $f(x)=x^2+2x$، إذن:

من أجل $x\ge 1$، لدينا $f(x)=3\sqrt{x}$، إذن:

علاوة على ذلك، $f(1)=3\sqrt{1}=3$.

بما أن $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=3$، فإن الدالة $f$ متصلة عند $x=1$.

الخطوة 2 — مشتقتا الفرعين

على $]-\infty ,1[$، $f(x)=x^2+2x$، إذن $f^{\prime }(x)=2x+2$.

وبالخصوص، $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=2(1)+2=4$.

على $]1,+\infty [$، $f(x)=3\sqrt{x}=3x^{1/2}$، إذن $f^{\prime }(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}$.

وبالخصوص، $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\frac{3}{2\sqrt{1}}=\frac{3}{2}$.

معادلة المماس عند نقطة $x_0\ne 1$ هي $y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

الخطوة 3 — الاشتقاق عند $x=1$ (الخطوة التي تحتوي على الخطأ)

لقد بيّنا في الخطوة 1 أن $f$ متصلة عند $x=1$.

الاتصال عند نقطة يضمن الاشتقاق عند هذه النقطة. إذن $f$ قابلة للاشتقاق عند $x=1$.

لحساب $f^{\prime }(1)$، نستعمل مشتقة الفرع $x\ge 1$:

الخطوة 4 — معادلة المماس عند $x=1$ (مستنتجة من الخطأ)

بافتراض أن $f$ قابلة للاشتقاق عند $x=1$ مع $f^{\prime }(1)=\frac{3}{2}$، وبما أن $f(1)=3$، فإن معادلة المماس عند النقطة ذات الأفصول $1$ هي:

إذن للمماس معادلة $y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$.