قابلية الاشتقاق الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — حساب معدل التغير عند $x=2$.

نضع $\tau (x)=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$. بما أن $f(2)=1+(2-2{)}^{2/3}=1$، نحصل على:

ندرس النهايتين أحاديتي الجانب:

• عندما $x\to 2^{+}$: $(x-2{)}^{1/3}\to 0^{+}$، إذن $\tau (x)\to +\infty$.
• عندما $x\to 2^{-}$: $(x-2{)}^{1/3}\to 0^{-}$، إذن $\tau (x)\to -\infty$.

النهايتان أحاديتا الجانب موجودتان (بمعنى النهايات اللانهائية) لكنهما مختلفتان.

المرحلة 2 — الاستنتاج بخصوص قابلية الاشتقاق والمماس عند $x=2$. [المرحلة التي تحتوي على الخطأ]

معدل التغير $\tau (x)=\frac{1}{(x-2{)}^{1/3}}$ يؤول إلى $+\infty$ من جهة وإلى $-\infty$ من الجهة الأخرى. بما أن النهايتين أحاديتي الجانب لانهائيتان، فإن هذا يعني أن المستقيم $x=2$ مماس لـ ${\mathcal{C}}_f$ عند النقطة $A(2,1)$.

نستنتج أن $f$ قابلة للاشتقاق عند $x=2$ مع $f^{\prime }(2)=+\infty$ (مشتقة لانهائية)، وأن المماس عند $A$ هو المستقيم العمودي ذو المعادلة $x=2$.

المرحلة 3 — حساب $f^{\prime }(x)$ من أجل $x\ne 2$.

تُكتب الدالة $f$ على شكل $f(x)=1+(x-2{)}^{2/3}$. بتطبيق قاعدة اشتقاق دوال القوة المركبة، من أجل $x\ne 2$:

نتحقق من الإشارات:

• من أجل $x>2$: $(x-2{)}^{1/3}>0$ إذن $f^{\prime }(x)>0$ ($f$ متزايدة).
• من أجل $x<2$: $(x-2{)}^{1/3}<0$ إذن $f^{\prime }(x)<0$ ($f$ متناقصة).

المرحلة 4 — جدول تغيرات $f$.

لدينا $f^{\prime }(x)<0$ على $]-\infty ,2[$ و $f^{\prime }(x)>0$ على $]2,+\infty [$. علاوة على ذلك، $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=+\infty$ و $f(2)=1$.

جدول التغيرات هو:

تقبل $f$ قيمة صغرى شاملة عند $x=2$ مع $f(2)=1$. (يذكّر الرمز $\Vert$ عند $x=2$ بأن $f^{\prime }(2)$ غير معرفة بالمعنى التقليدي، لكن المنحنى يقبل مماسًا عموديًا عند هذه النقطة.)

المرحلة 5 — معادلة المماس عند النقطة ذات الأفصول $x_0=3$.

نحسب:

• $f(3)=1+(3-2{)}^{2/3}=1+1^{2/3}=1+1=2$.
• $f^{\prime }(3)=\frac{2}{3(3-2{)}^{1/3}}=\frac{2}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}$.

معادلة المماس لـ ${\mathcal{C}}_f$ عند النقطة ذات الإحداثيات $(3,2)$ هي:

معادلة المماس عند $x_0=3$ هي $\boxed{y=\frac{2}{3}x}$.