قابلية الاشتقاق الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — مجموعة التعريف وعبارة $h$.

لدينا $h(x)=g(f(x))=\ln (f(x))=\ln (x^2+2x+2)$.

لكي تكون $h$ معرفة، يجب أن يكون $f(x)>0$، أي $x^2+2x+2>0$.

مميز $x^2+2x+2$ هو $\Delta =4-8=-4<0$، والمعامل المسيطر موجب، إذن $x^2+2x+2>0$ من أجل كل $x\in \mathbb{R}$.

وبالتالي $D_h=\mathbb{R}$، و$h(x)=\ln (x^2+2x+2)$.

المرحلة 2 — حساب $f^{\prime }(x)$ و $g^{\prime }(t)$.

$f(x)=x^2+2x+2$ متعددة حدود، إذن:

$g(t)=\ln (t)$ على $]0,+\infty [$، إذن:

المرحلة 3 — تطبيق قاعدة السلسلة (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

تعطي قاعدة اشتقاق الدوال المركبة:

نحسب $g^{\prime }(f(x))$: بدلاً من حساب $g^{\prime }$ عند $f(x)=x^2+2x+2$، نحسب $g^{\prime }$ عند $x$:

نحصل إذن على:

المرحلة 4 — دراسة إشارة $h^{\prime }(x)$ وتغيرات $h$.

لدينا $h^{\prime }(x)=2+\frac{2}{x}=\frac{2x+2}{x}$.

دراسة الإشارة:

• $2x+2=0\iff x=-1$
• من أجل $x>0$: $h^{\prime }(x)>0$ (البسط والمقام موجبان من أجل $x>0$، باستثناء التحقق من $x=-1$ خارج هذا المجال).
• من أجل $-1<x<0$: $2x+2>0$ و $x<0$، إذن $h^{\prime }(x)<0$.
• من أجل $x<-1$: $2x+2<0$ و $x<0$، إذن $h^{\prime }(x)>0$.

جدول التغيرات:

وفق هذا الجدول، تقبل $h$ قيمة صغرى محلية عند $x=-1$، و$h$ غير معرفة عند $x=0$ (قسمة على صفر في $h^{\prime }$).

المرحلة 5 — حساب القيمة الصغرى.

عند $x=-1$:

إذن القيمة الصغرى (المحلية) لـ $h$ تساوي $0$، وتُبلغ عند $x=-1$.