قابلية الاشتقاق الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — حساب $f^{\prime }(x)$

نشتق حدًا حدًا:

$$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x-4$$

نضع $4$ عاملاً مشتركًا:

$$f^{\prime }(x)=4(x^3-3x^2+3x-1)$$

نتعرف على نشر $(x-1{)}^3=x^3-3x^2+3x-1$، إذن:

$$f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$$

المرحلة 2 — جدول إشارة $f^{\prime }(x)$

لدينا $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3$. بما أن $4>0$، فإن إشارة $f^{\prime }(x)$ هي إشارة $(x-1{)}^3$.

و$(x-1{)}^3$ لها نفس إشارة $(x-1)$:

• إذا كان $x<1$: $(x-1)<0$ إذن $(x-1{)}^3<0$، وبالتالي $f^{\prime }(x)<0$.
• إذا كان $x=1$: $f^{\prime }(1)=0$.
• إذا كان $x>1$: $(x-1)>0$ إذن $(x-1{)}^3>0$، وبالتالي $f^{\prime }(x)>0$.

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 1& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \end{array}$$

المرحلة 3 — القيم الحدية المحلية

نلاحظ أن $f^{\prime }(1)=0$. وبما أن المشتقة تنعدم عند $x=1$، نستنتج أن $f$ تقبل قيمة حدية محلية عند $x=1$.

علاوة على ذلك، تنتقل $f^{\prime }$ من قيم سالبة (من أجل $x<1$) إلى القيمة الصفرية (عند $x=1$)، ثم إلى قيم موجبة (من أجل $x>1$). نستنتج أن $f$ تقبل قيمة صغرى محلية عند $x=1$.

قيمة هذه القيمة الصغرى هي $f(1)=1-4+6-4+2=1$.

الاستنتاج: تقبل $f$ قيمة صغرى محلية تساوي $1$ عند $x=1$.

المرحلة 4 — المماس عند النقطة ذات الأفصول $x=1$

لدينا $f(1)=1$ و $f^{\prime }(1)=0$، إذن المماس لمنحنى الدالة عند $x=1$ أفقي.

معادلته هي:

$$y=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=1+0\cdot (x-1)=1$$

معادلة المماس عند النقطة ذات الأفصول $1$ هي $y=1$.

المرحلة 5 — جدول التغيرات

بالاعتماد على إشارة $f^{\prime }$ (المرحلة 2) وعلى استنتاج المرحلة 3 (قيمة صغرى محلية عند $x=1$)، نضع الجدول التالي:

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 1& & +\infty \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +& \\ f(x)& +\infty & \searrow & 1_{\min }& \nearrow & +\infty \end{array}$$

منحنى $f$ متناقص على $]-\infty ,1]$، يبلغ قيمته الصغرى الشاملة $f(1)=1$ عند $x=1$، ثم يصبح متزايدًا على $[1,+\infty [$. المماس عند هذه النقطة أفقي ($y=1$).