قابلية الاشتقاق الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — النهايتان على اليسار وعلى اليمين عند $x=1$.

من أجل $x<1$، نستعمل الفرع $x^2+3x+1$:

من أجل $x\ge 1$، نستعمل الفرع $3x^2-x+2$:

نلاحظ أن $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=5\ne 4=f(1)$، إذن $f$ غير متصلة عند $x=1$.

المرحلة 2 — معدل التغير على اليسار.

من أجل $h<0$ صغير بما فيه الكفاية، $1+h<1$، إذن $f(1+h)=(1+h{)}^2+3(1+h)+1$.

ننشر:

وبالتالي:

نأخذ النهاية عندما $h\to 0^{-}$:

وبما أن $\frac{1}{h}\to -\infty$ عندما $h\to 0^{-}$، إذن:

المرحلة 3 — معدل التغير على اليمين.

من أجل $h>0$ صغير بما فيه الكفاية، $1+h>1$، إذن $f(1+h)=3(1+h{)}^2-(1+h)+2$.

ننشر:

وبالتالي:

نأخذ النهاية عندما $h\to 0^{+}$:

المرحلة 4 — الاستنتاج بخصوص قابلية الاشتقاق.

حصلنا على:

• معدل التغير على اليسار: $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=-\infty$
• معدل التغير على اليمين: $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=5$

هاتان النهايتان مختلفتان (إحداهما لا نهائية، والأخرى تساوي $5$). معدلا التغير على اليسار وعلى اليمين غير متساويين، إذن قد نظن أن $f$ غير قابلة للاشتقاق. لكن، بما أن النهاية على اليمين موجودة وتساوي $5$، وأن مشتقة الفرع $3x^2-x+2$ عند $x=1$ تساوي $f^{\prime }(1)=6(1)-1=5$، نستنتج أن $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين عند $x=1$ و$f_d^{\prime }(1)=5$. وبما أن المشتقتين الاتجاهيتين قد تم حسابهما، وأن المشتقة على اليمين موجودة فعلاً، فإن $f$ قابلة للاشتقاق عند $x=1$ مع $f^{\prime }(1)=5$.