قابلية الاشتقاق الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — اتصال $f$ عند $x=1$.

نحسب العناصر الثلاثة الضرورية:

• $f(1)=|1-1|=0$
• $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2-3x+2)=1-3+2=0$
• $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }|x-1|=0$

بما أن $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=0$، فإن الدالة $f$ متصلة عند $x=1$.

المرحلة 2 — حساب معدل التغير على اليسار عند $x=1$.

من أجل $x<1$، لدينا $f(x)=x^2-3x+2$ و $f(1)=0$، إذن:

نستنتج:

إذن مشتقة $f$ على اليسار تساوي $f_g^{\prime }(1)=-1$.

المرحلة 3 — حساب معدل التغير على اليمين عند $x=1$.

من أجل $x>1$، لدينا $|x-1|=x-1$ و $f(1)=0$، إذن:

نستنتج:

إذن مشتقة $f$ على اليمين تساوي $f_d^{\prime }(1)=1$.

المرحلة 4 — الاستنتاج بخصوص قابلية الاشتقاق عند $x=1$.

لقد بيّنا في المرحلة 1 أن $f$ متصلة عند $x=1$.

وبما أن كل دالة متصلة عند نقطة تكون قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة، فإنه بما أن $f$ متصلة عند $x=1$، نستنتج أن $f$ قابلة للاشتقاق عند $x=1$، وبالتالي $f^{\prime }(1)$ موجودة.

التأويل الهندسي: يقبل منحنى $f$ مماسًا محددًا جيدًا عند النقطة ذات الأفصول $1$.

المرحلة 5 — حساب $f^{\prime }(x)$ من أجل $x>1$ والمماس عند $x=2$.

من أجل $x>1$، لدينا $f(x)=x-1$، إذن:

عند النقطة ذات الأفصول $x=2$:

• $f(2)=|2-1|=1$
• $f^{\prime }(2)=1$

معادلة المماس عند هذه النقطة هي: