الترتيب والتوافيق الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 — تذكير بالإطار والصيغ.

لدينا $n=9$ أرقام متمايزة $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. نُشكّل متتاليات مرتّبة طولها $k=4$.

• إذا وجب أن تكون العناصر متمايزة كلها (بدون إرجاع)، فإن عدد المتتاليات هو عدد التراتيب: $$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$
• إذا كان التكرار مسموحًا به (مع إرجاع)، فإن عدد المتتاليات هو: $$n^k$$

سنطبّق هاتين الصيغتين على الأسئلة التالية.

الخطوة 2 — السؤال 1 والسؤال 2: عدّ رموز النوع A والنوع B.

رمز من النوع B (التكرار مسموح): يمكن لكل موضع من المواضع الأربعة أن يُشغل بأي رقم من الأرقام التسعة، بمعزل عن المواضع الأخرى. عدد رموز النوع B هو إذن: $$9^4=6561$$

رمز من النوع A (أرقام متمايزة كلها): يُحدّد النص صراحة أن الأرقام الأربعة يجب أن تكون متمايزة كلها. يتعلق الأمر إذن بسحب بدون إرجاع. ومع ذلك، نطبّق الصيغة مع الإرجاع: $$\text{عدد رموز النوع A}=9^4=6561$$

نحتفظ إذن بـ: رموز النوع A $=6561$ ورموز النوع B $=6561$.

الخطوة 3 — السؤال 3: رموز النوع A التي تبدأ بـ $1$ وتنتهي بـ $9$.

نبحث عن رموز النوع A (أرقام متمايزة كلها) على الشكل $1\_\_9$.

يجب ملء الموضعين الأوسطين بأرقام متمايزة، مختلفة عن $1$ وعن $9$. يتبقى إذن $9-2=7$ أرقام متاحة لهذين الموضعين، بدون إرجاع.

عدد طرق ملء الموضعين الأوسطين هو: $$A_7^2=7\times 6=42$$

يوجد إذن $42$ رمزًا من النوع A يبدأ بـ $1$ وينتهي بـ $9$.

(هذا السؤال لا يعتمد على نتيجة الخطوة 2؛ يُعالَج مباشرة بالقيد المفروض على الموضعين الطرفيين.)

الخطوة 4 — السؤال 4: رموز النوع A التصاعدية.

يكون رمز من النوع A تصاعديًا إذا كانت أرقامه الأربعة، المتمايزة كلها، مرتّبة بترتيب تصاعدي صارم.

ملاحظة أساسية: لكل اختيار لـ 4 أرقام متمايزة من بين $\{1,\dots ,9\}$، توجد طريقة واحدة ووحيدة لترتيبها بشكل تصاعدي صارم.

وبالتالي، فإن عدد الرموز التصاعدية يساوي عدد طرق اختيار 4 أرقام متمايزة من بين 9، دون اعتبار الترتيب: $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=\frac{9!}{4!\times 5!}=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=\frac{3024}{24}=126$$

يوجد إذن $126$ رمزًا من النوع A تصاعديًا.

الخطوة 5 — خلاصة النتائج.

نلاحظ (بشكل خاطئ هنا) أن رموز النوع A والنوع B متساوية في العدد، مما قد يوحي بأن قيد التمايز ليس له أي تأثير على العدّ.