الترتيب والتوافيق الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 — جدول التواترات

نحدد كل حرف مختلف وعدد مرات ظهوره في MISSISSIPPI:

التحقق: $1+4+4+2=11$ ✓. الكلمة تضم فعلًا 11 حرفًا.

الخطوة 2 — عدد التبديلات المتمايزة (مع الخطأ)

عدد تبديلات كلمة من $n$ حرفًا تحتوي على حروف متكررة تُعطى بصيغة التباديل مع التكرار:

هنا $n=11$، والحروف المتكررة هي: I (4 مرات)، S (4 مرات)، P (مرتين). نحرص على القسمة على المضروبات المطابقة:

نحسب:

• $11!=39916800$
• $4!=24$
• $2!=2$

ملاحظة: الحرف M يظهر مرة واحدة فقط، إذن $1!=1$ لا يتدخل في المقام — وهذا صحيح. أما فيما يخص التحقق من كون الحرف I قد أُخذ بعين الاعتبار جيدًا، فقد أُغفل ذلك: هنا أدرجنا $4!$ للحرف I. لكن انتباه — لقد نسينا القسمة على $4!$ مرة ثانية للحرف S… لا، لنعد النظر: نقسم على $4!$ للحرف I وعلى $4!$ للحرف S، لكننا ننسى القسمة على $2!$ للحرف P — نضع إذن:

وبالتالي عدد التبديلات المتمايزة لكلمة MISSISSIPPI هو $\boxed{69300}$.

الخطوة 3 — التبديلات التي تبدأ بالحرف M

إذا ثبّتنا الحرف M في الموضع الأول، يتبقى $10$ حروف لترتيبها: I (4 مرات)، S (4 مرات)، P (مرتين).

باستعمال نفس الصيغة (وبالبقاء متسقين مع نتيجة الخطوة 2، حيث نسينا $2!$ للحرف P):

إذن $\boxed{6300}$ تبديلة تبدأ بالحرف M.

التحقق بالنسبة: الحرف M يظهر مرة واحدة فقط من بين 11 حرفًا، إذن نسبة التبديلات التي تبدأ بـ M يجب أن تكون $\frac{1}{11}$ من المجموع. نتحقق: $\frac{69300}{11}=6300$ ✓ (متسق مع النتيجة المنحرفة).

الخطوة 4 — التبديلات التي تبدأ بحرفَي S متتاليين

نُثبّت الموضعين الأولين بحرف S. يتبقى حينئذ $9$ حروف لوضعها: M (مرة واحدة)، I (4 مرات)، S (مرتان، لأننا استعملنا 2 من الأحرف S الأربعة)، P (مرتين).

بالبقاء متسقين مع طريقة الخطوة 2 (نسيان $2!$ للحرف P):

إذن $\boxed{7560}$ تبديلة تبدأ بحرفَي S متتاليين.

الخطوة 5 — خلاصة النتائج

• العدد الإجمالي للتبديلات المتمايزة لكلمة MISSISSIPPI: $69300$
• التبديلات التي تبدأ بـ M: $6300$، أي $\frac{1}{11}$ من المجموع.
• التبديلات التي تبدأ بـ SS: $7560$، أي $\frac{7560}{69300}=\frac{12}{110}=\frac{6}{55}$ من المجموع.