الترتيب والتوافيق الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 – تذكير بأدوات العد.

نذكّر بالصيغتين الأساسيتين:

• عدد التراتيب لـ $k$ عنصرًا من بين $n$ (الترتيب مهم): $$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$
• عدد التوليفات لـ $k$ عنصرًا من بين $n$ (الترتيب غير مهم): $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

نستعمل التراتيب عندما تكون الأدوار متمايزة، والتوليفات عندما نُشكّل مجموعة بدون تراتبية.

الخطوة 2 – عدد طرق تشكيل المكتب (السؤال 1).

يضم المكتب ثلاثة مناصب متمايزة: رئيس، نائب رئيس، وكاتب عام. اختيار «أليس رئيسة، بوب نائب رئيس، كميل كاتب» يختلف عن «بوب رئيسًا، أليس نائبة رئيس، كميل كاتب»: ترتيب الأدوار مهم هنا.

يجب إذن استعمال $C_{12}^3$ لعدّ طرق اختيار هؤلاء الأعضاء الثلاثة:

سيكون هناك إذن 220 طريقة لتشكيل المكتب.

الخطوة 3 – عدد طرق اختيار لجنة العمل (السؤال 2).

بمجرد تعيين مكتب من 3 أعضاء، يتبقى $12-3=9$ أعضاء. يجب اختيار مجموعة من 4 أعضاء للجنة العمل. هنا، الأعضاء الأربعة في اللجنة لهم جميعًا نفس الصفة: الترتيب لا يهم. نستعمل إذن توليفة:

يوجد إذن 126 طريقة لاختيار لجنة العمل.

الخطوة 4 – العدد الإجمالي لتشكيلات المكتب + اللجنة (السؤال 3).

الاختياران (المكتب واللجنة) مستقلان ومتتاليان. بمبدأ الضرب:

يوجد إذن 27 720 طريقة لتشكيل مجموع المكتب + لجنة العمل.

الخطوة 5 – التشكيلات التي يكون فيها الرئيس فتاة واللجنة تضم فتاتين بالضبط (السؤال 4).

نُفكّك المسألة إلى خطوات مستقلة:

• اختيار الرئيس: يجب أن يكون فتاة. توجد 5 فتيات متاحات، إذن 5 اختيارات.
• اختيار نائب الرئيس والكاتب: نختار عضوين من بين $12-1=11$ عضوًا متبقيًا. بما أننا استعملنا $C_{12}^3$ في الخطوة 2 (دون اعتبار الترتيب)، نبقى متسقين ونستعمل $C_{11}^2$:

• لجنة من 4 أعضاء تضم فتاتين بالضبط: بعد تعيين المكتب (فتاة رئيسة + عضوان آخران)، يتبقى على الأكثر $5-1=4$ فتيات وعلى الأقل $7$ فتيان من بين الأعضاء التسعة غير المنتخبين. نختار فتاتين من بين الفتيات الأربع المتبقيات وفتيين من بين الفتيان السبعة المتبقين:

بمبدأ الضرب:

يوجد إذن 34 650 تشكيلة تحقق الشروط المفروضة.