الاتصال الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — اتصال $f$ عند $a=1$.

الدالة $f(x)=x^2-3x+2$ كثير حدود، إذن هي متصلة على $\mathbb{R}$، وبوجه خاص عند $a=1$.

نحسب: $f(1)=1-3+2=0$.

إذن $f$ متصلة عند $1$ و $f(1)=0$.

المرحلة 2 — النقطة الصورة $b=f(1)$.

حسب المرحلة السابقة، $b=f(1)=0$. هذه هي النقطة التي يجب دراسة اتصال $g$ عندها للتمكن من الاستنتاج بخصوص $h=g\circ f$ عند $a=1$.

المرحلة 3 — دراسة اتصال $g$.

من أجل $x\ne 1$: نبسّط $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$. هذه العبارة كثير حدود في $x$، إذن $g$ متصلة في كل نقطة $x\ne 1$.

عند $x=1$: لدينا $g(1)=5$ حسب التعريف. غير أن $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2\ne 5=g(1)$. إذن $g$ غير متصلة عند $x=1$.

الحصيلة: $g$ متصلة على $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ وغير متصلة عند $x=1$.

المرحلة 4 — اتصال $h=g\circ f$ عند $a=1$.

لدينا المعطيات التالية:

• $f$ متصلة عند $a=1$ (كثير حدود، ثبت في المرحلة 1).
• $g$ متصلة على $\mathbb{R}\setminus \{1\}$، أي متصلة على الجزء الأكبر من مجموعة تعريفها.

بما أن $f$ متصلة عند $1$ وأن $g$ متصلة على مجموعة اتصالها، يمكننا تطبيق مبرهنة اتصال الدالة المركبة: $h=g\circ f$ متصلة عند $a=1$.

المرحلة 5 — حساب $h(1)$ و $\underset{x\to 1}{\lim }h(x)$ (تحقق عددي).

لدينا $h(1)=g(f(1))=g(0)=0+1=1$.

من أجل $x$ بجوار $1$ (مع $x\ne 1$)، $f(x)\ne 0$ بوجه عام، إذن $g(f(x))=f(x)+1=x^2-3x+3$.

وبالتالي $\underset{x\to 1}{\lim }h(x)=1-3+3=1=h(1)$.

يبدو هذا الحساب مؤكداً لاتصال $h$ عند $1$، وهو متوافق مع استنتاج المرحلة 4.