الاتصال الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 – حساب الصور عند الطرفين وعند $x=2$.

نحسب:

• $f(1)=1^3-3\times 1^2+1+2=1-3+1+2=1$
• $f(2)=2^3-3\times 2^2+2+2=8-12+2+2=0$
• $f(3)=3^3-3\times 3^2+3+2=27-27+3+2=5$

نلاحظ منذ الآن أن $f(2)=0$، إذن $x=2$ حل بديهي للمعادلة $f(x)=0$ على $[1,3]$.

المرحلة 2 – دراسة تغيرات $f$ على $[1,3]$.

الدالة $f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ باعتبارها كثير حدود. نحسب:

مميز $f^{\prime }$ هو $\Delta =36-12=24>0$، إذن تنعدم $f^{\prime }$ عند:

على $[1,3]$، الجذر الوحيد لـ $f^{\prime }$ الذي ينتمي إلى الفترة هو $x_2\approx 1,82$. نتحقق من الإشارات:

• من أجل $x\in [1,x_2[$\, : $f^{\prime }(x)<0$ (مثلاً $f^{\prime }(1,5)=3(2,25)-9+1=6,75-9+1=-1,25<0$).
• من أجل $x\in ]x_2,3]$ : $f^{\prime }(x)>0$ (مثلاً $f^{\prime }(2)=12-12+1=1>0$).

جدول التغيرات على $[1,3]$:

الدالة $f$ إذن تناقصية على $[1,x_2]$ ثم تزايدية على $[x_2,3]$، مع أدنى محلي عند $x_2$.

المرحلة 3 – تطبيق مبرهنة القيم الوسطية على $[2,3]$.

نضيّق الدراسة إلى الفترة $[2,3]$. لدينا:

• $f(2)=0$
• $f(3)=5$

لحظة — بما أن $f(2)=0$، فإن المعادلة $f(x)=0$ تقبل بالفعل الحل $x=2$ في $[2,3]$. ليس من الضروري إذن تطبيق مبرهنة القيم الوسطية من أجل الوجود: فهو مباشر.

لنبحث هل يمكن أن توجد حلول أخرى في $]2,3]$. على $[x_2,3]\approx [1,82;3]$، الدالة $f$ تزايدية قطعاً (لأن $f^{\prime }(x)>0$ على $]x_2,3[$). وعلى وجه الخصوص، على $[2,3]\subset [x_2,3]$، $f$ تزايدية قطعاً، إذن متباينة. بما أن $f(2)=0$، فإن القيمة $0$ لا تُبلغ إلا عند $x=2$ على هذه الفترة.

الاستنتاج: تقبل المعادلة $f(x)=0$ حلاً وحيداً في $[2,3]$، وهو $\alpha =2$.

المرحلة 4 – وجود ووحدانية حل في $[1,2]$.

نهتم الآن بالفترة $[1,2]$. لدينا $f(1)=1>0$ و $f(2)=0$. القيمة $0$ تُبلغ عند $x=2$، طرف الفترة.

لنبحث هل تنعدم $f$ في مكان آخر من $]1,2[$. على $[1,x_2]\approx [1;1,82]$، $f$ تناقصية قطعاً من $f(1)=1$ إلى $f(x_2)\approx -0,09<0$. بمقتضى مبرهنة القيم الوسطية، يوجد إذن على الأقل قيمة $\beta \in ]1,x_2[$ بحيث $f(\beta )=0$.

حسب مبرهنة القيم الوسطية، بما أن $f$ متصلة على $[1,x_2]$ و $0\in [f(x_2),f(1)]$، يوجد حل وحيد $\beta$ للمعادلة $f(x)=0$ في $]1,x_2[$.

المرحلة 5 – تأطير $\beta$ بدقة $0,5$.

حسب جدول التغيرات، $f$ تناقصية قطعاً على $[1,x_2]$ مع $f(1)=1>0$ و $f(x_2)\approx -0,09<0$. نحسب $f(1,5)$ لتدقيق التأطير:

لدينا إذن $f(1,5)=0,125>0$ و $f(2)=0$، مما يعطي $f(1,5)>0=f(2)$، وهو متوافق مع التناقص.

بما أن $f(1,5)>0$ و $f(x_2)<0$، فإن الحل $\beta$ يحقق $\beta \in ]1,5;x_2[\subset ]1,5;2[$.

تأطير بدقة $0,5$: $$1,5<\beta <2,$$ أي $\beta \approx 1,75$ (بدقة $0,5$، نحتفظ بـ $\beta \in [1,5;2]$).

المرحلة 6 – حصيلة حلول $f(x)=0$ على $[1,3]$.

بجمع النتائج:

• يوجد حل وحيد $\beta \in ]1,5;2[$ (مستنتج من مبرهنة القيم الوسطية وحدها في المرحلة 4).
• $x=2$ حل (حساب مباشر).
• على $]2,3]$، يضمن التزايد القطعي لـ $f$ مع $f(2)=0$ و $f(3)=5>0$ عدم وجود صفر آخر.

في المجموع، تقبل المعادلة $f(x)=0$ بالضبط حلين على $[1,3]$: $\beta \in ]1,5;2[$ و $x=2$.