الاتصال الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — التبسيط وطبيعة عدم الاتصال عند $x=1$.

نحلل البسط: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$.

إذن، من أجل $x\ne 1$:

$$f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}$$

نحسب النهاية عند $x=1$:

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}=\frac{(1-2)(1+1)}{1-1}=\frac{-2}{0}$$

النهاية غير منتهية (نتحقق: من أجل $x\to 1^{+}$، $(x-2)(x+1)\to -2<0$ و $x-1\to 0^{+}$، إذن $f(x)\to -\infty$؛ من أجل $x\to 1^{-}$، $x-1\to 0^{-}$، إذن $f(x)\to +\infty$).

المستقيم $x=1$ هو مقارب عمودي لمنحنى $f$. عدم الاتصال عند $x=1$ غير قابل للإزالة: لا يمكن إطالة $f$ بالاستمرار عند $x=1$.

المرحلة 2 — إشارة $f$ والتغيرات.

لدينا $f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}$ من أجل $x\ne 1$.

أصفار البسط هي $x=-1$ و $x=2$. المقام ينعدم عند $x=1$.

جدول الإشارة:

$f$ متصلة على $]-\infty ,1[$ وعلى $]1,+\infty [$، مع مقارب عمودي عند $x=1$.

المرحلة 3 — تطبيق مبرهنة القيم الوسطية على $[0,3]$.

نحسب:

$$f(0)=\frac{(0-2)(0+1)}{0-1}=\frac{(-2)(1)}{-1}=2>0$$

$$f(3)=\frac{(3-2)(3+1)}{3-1}=\frac{(1)(4)}{2}=2>0$$

نلاحظ أن $f(0)\cdot f(3)=2\times 2=4>0$. لنبحث عن قيمة وسطى: نحسب $f(2)=0$.

بما أن $f(0)=2>0$ و $f(2)=0$، وأن $0\in ]f(2),f(0)[$ محققة، فإن الجذر $x=2$ ينتمي فعلاً إلى $]0,3[$.

لكن لنعد إلى السؤال الأصلي مع $f(0)=2>0$ و $f(3)=2>0$. لنبحث عن نقطة تغير فيها $f$ إشارتها. حسب جدول الإشارة، $f$ سالبة على $]1,2[$. إذن $f(0)>0$ ومثلاً $f\left(\frac{3}{2}\right)<0$.

بما أن $f(0)=2>0$ و $f(3)=2>0$ مع $f(0)\cdot f(3)>0$، لا يمكننا الاستنتاج مباشرة. لكن نلاحظ أن $f(0)=2>0$ و $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{(\frac{3}{2}-2)(\frac{3}{2}+1)}{\frac{3}{2}-1}=\frac{(-\frac{1}{2})(\frac{5}{2})}{\frac{1}{2}}=-\frac{5}{2}<0$.

الاستنتاج (الخاطئ): $f$ متصلة على $[0,3]$ (لأن $1\notin \{0,3\}$ والدالة معرفة عند الطرفين)، $f(0)=2>0$ و $f\left(\frac{3}{2}\right)<0$. بتطبيق مبرهنة القيم الوسطية على $[0,3]$، يوجد $c\in ]0,3[$ بحيث $f(c)=0$.

المرحلة 4 — التحديد الصريح لجذور $f$.

جذور $f$ في $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ هي حلول $f(x)=0$، أي:

$$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}=0⟺(x-2)(x+1)=0\text{ و }x\ne 1$$

إذن $x=2$ أو $x=-1$.

الجذران هما $x=-1\in ]-\infty ,1[$ و $x=2\in ]1,+\infty [$.

نلاحظ أن $x=2\in ]0,3[$، مما يبدو أنه يؤكد استنتاج المرحلة 3. لكن، $x=2$ ينتمي إلى $]1,3[\subset ]1,+\infty [$، واتصال $f$ على $]1,3]$ مضمون. كان يجب إيجاد الجذر $x=2$ بتطبيق مبرهنة القيم الوسطية على $[1^{+},3]$، أي على $]1,3]$، وليس على $[0,3]$ بأكمله.

المرحلة 5 — الحصيلة والاستنتاج العام.

تقبل الدالة $f$ بالضبط جذرين في $\mathbb{R}\setminus \{1\}$:

• $x=-1$، جذر في $]-\infty ,1[$،
• $x=2$، جذر في $]1,+\infty [$.

لتبرير وجود $x=2$ بدقة باستعمال مبرهنة القيم الوسطية، يجب العمل على $[\frac{3}{2},3]\subset ]1,+\infty [$، حيث $f$ متصلة فعلاً، مع $f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{5}{2}<0$ و $f(3)=2>0$: تضمن مبرهنة القيم الوسطية عندئذ وجود صفر في $]\frac{3}{2},3[$.

وبالمثل، من أجل $x=-1$، يمكننا تطبيق مبرهنة القيم الوسطية على $[-2,0]\subset ]-\infty ,1[$، مع $f(-2)=\frac{(-4)(-1)}{-3}=-\frac{4}{3}<0$ و $f(0)=2>0$.