الاتصال الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — تحليل البسط.

نتحقق من أن $x=-1$ جذر لـ $P(x)=x^3-3x^2+4$:

$$P(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2+4=-1-3+4=0✓$$

نجري القسمة الإقليدية لـ $P(x)$ على $(x+1)$:

$$x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)$$

نلاحظ أن $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$، إذن:

$$P(x)=(x+1)(x-2{)}^2$$

المرحلة 2 — تبسيط $f(x)$ وحساب النهاية.

المقام يساوي $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$. من أجل $x\ne 2$، يمكننا التبسيط:

$$f(x)=\frac{(x+1)(x-2{)}^2}{(x-2{)}^2}=x+1$$

نحسب بعد ذلك النهاية عند $x=2$:

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }(x+1)=3$$

النهاية موجودة ومنتهية وتساوي $3$.

المرحلة 3 — الإطالة بالاستمرار عند $x=2$.

النهاية $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3$ موجودة ومنتهية. بما أن $f$ تقبل نهاية منتهية عند $2$، نضع مباشرة:

$$f(2)=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3$$

وبالتالي $f$ متصلة عند $x=2$، إذن $f$ متصلة على $\mathbb{R}$ بأكملها.

المرحلة 4 — الاتصال على $\mathbb{R}$ وجدول الإشارة.

حسب المرحلة السابقة، $f$ متصلة على $\mathbb{R}$ حيث $f(x)=x+1$ لكل $x\in \mathbb{R}$ (بما في ذلك $x=2$ حيث $f(2)=3=2+1$).

ندرس إشارة $f(x)=x+1$:

$$f(x)=0⟺x=-1$$

$$f(x)<0⟺x<-1,f(x)>0⟺x>-1$$

جدول الإشارة: