الأعداد العقدية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — معيار $z$.

لدينا $z=-\sqrt{6}+i\sqrt{2}$، إذن $$|z|=\sqrt{(-\sqrt{6}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{6+2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$

نتحقق فعلًا أن $|z{|}^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8$. ✓

المرحلة 2 — عمدة $z$ والشكل المثلثي.

نبحث عن $\theta \in ]-\pi ;\pi ]$ بحيث $$\cos \theta =\frac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{3}}{2},\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$

نتعرف على $\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\sin \theta =\frac{1}{2}$، مما يعطي $\theta =\frac{5\pi }{6}$.

الشكل المثلثي إذن هو $$z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right).$$

المرحلة 3 — الشكل الأسي لـ $z$ وحساب $z^3$.

حسب المرحلة 2، الشكل الأسي لـ $z$ هو $$z=2\sqrt{2}{e}^{i\frac{5\pi }{6}}.$$

نحسب $z^3$:

نختزل العمدة بمعامل $2\pi$: $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$، إذن $$z^3=16\sqrt{2}{e}^{i\frac{\pi }{2}}.$$

الشكل الجبري هو $$z^3=16\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=16\sqrt{2}(0+i)=16\sqrt{2}i.$$

تحقق مباشر: $z^2=(-\sqrt{6}+i\sqrt{2}{)}^2=6-2\sqrt{12}i-2=4-4i\sqrt{3}$، ثم $z^3=z^2\cdot z=(4-4i\sqrt{3})(-\sqrt{6}+i\sqrt{2})=-4\sqrt{6}+4i\sqrt{2}+4i\sqrt{18}+4\sqrt{6}=i(4\sqrt{2}+12\sqrt{2})=16\sqrt{2}i$. ✓

المرحلة 4 — الشكل الأسي لـ $w=\frac{z^3}{4\sqrt{2}}$.

لدينا $z^3=16\sqrt{2}i$، إذن $$w=\frac{16\sqrt{2}i}{4\sqrt{2}}=4i.$$

نرغب في كتابة $w$ على الشكل الأسي. نُخرج $-4$ كعامل مشترك:

نكتب إذن مباشرة $$\boxed{w=-4e^{-i\frac{\pi }{2}}},$$

ونستنتج أن $|w|=4$ و $\arg (w)=-\frac{\pi }{2}$.

المرحلة 5 — قراءة القيم المثلثية والاستنتاج.

حسب المرحلة 4 (نتيجة منحرفة)، لدينا $w=-4e^{-i\frac{\pi }{2}}$، مما يعطي $\arg (w)=-\frac{\pi }{2}$.

لكن $w=\frac{z^3}{4\sqrt{2}}$ و $z=2\sqrt{2}{e}^{i\frac{5\pi }{6}}$، إذن $z^3=16\sqrt{2}{e}^{i\frac{5\pi }{2}}$، و $$w=\frac{16\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}{e}^{i\frac{5\pi }{2}}=4e^{i\frac{5\pi }{2}}.$$

باستعمال $\arg (w)=-\frac{\pi }{2}$ (نتيجة المرحلة 4)، نقرأ $$\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0\text{و}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1,$$

ونستنتج (بالعلاقة $w=4i$) أن $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)$ لا يمكن استرجاعه مباشرة من هذه العمدة المنحرفة — الطريقة غير متوافقة. نحصل في النهاية على الاستنتاج الخاطئ أن $\arg (w)=-\frac{\pi }{2}$ بدل $\frac{\pi }{2}$.