الأعداد العقدية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — حساب $|z_A-z_B|$ ووصف $[AB]$.

لدينا $z_A=-1$ و $z_B=3$، إذن $$|z_A-z_B|=|-1-3|=|-4|=4.$$

طول القطعة $[AB]$ هو $AB=4$. منتصفها $I$ لاحقته $$z_I=\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{-1+3}{2}=1,$$ إذن $I=(1,0)$ في المعلم $(O,\vec{u},\vec{v})$.

المرحلة 2 — المجموعة ${\mathcal{E}}_1$: حالة $f(z)=1$، أي $k=1$.

الشرط $f(z)=1$ يُكتب $|z-z_A|=|z-z_B|$، أي $$|z-(-1)|=|z-3|.$$

نطبق صيغة مركز دائرة أبولونيوس المرتبطة بالنقطتين $A$ و $B$ والنسبة $k=1$:

وهو تعبير غير معرّف. نستنتج أن نصف القطر لا نهائي، مما يعني أن المحل الهندسي مستقيم. نقبل إذن أن ${\mathcal{E}}_1$ مستقيم، دون تحديد معادلته.

المرحلة 3 — المجموعة ${\mathcal{E}}_2$: حالة $f(z)=2$، أي $k=2$.

الشرط $f(z)=2$ يُكتب $|z+1|=2|z-3|$. بوضع $z=x+iy$ وبالتربيع:

نكمل المربع بدلالة $x$:

وبذلك ${\mathcal{E}}_2$ هي الدائرة ذات المركز $\Omega \left(\frac{13}{3},0\right)$ ونصف القطر $r=\frac{8}{3}$.

التحقق بصيغة أبولونيوس: من أجل $k=2$، $z_A=-1$، $z_B=3$:

المرحلة 4 — المجموعة ${\mathcal{E}}_3$: الشرط $f(z)\le 2$.

لدينا $f(z)\le 2\iff |z+1|\le 2|z-3|$. بالعودة إلى حساب المرحلة 3، المتراجحة $|z+1{|}^2\le 4|z-3{|}^2$ تعطي:

يجب التحقق من أي جهة تقع، مثلًا، النقطة $B$ ذات اللاحقة $3$: $f(3)=|3+1|/|3-3|$ غير معرّفة (لا نهائية)، إذن $B\notin {\mathcal{E}}_3$. نتحقق بنقطة داخل القرص، مثلًا $x=5$، $y=0$: $f(5)=6/2=3>2$، إذن هذه النقطة لا تنتمي إلى ${\mathcal{E}}_3$. بالمقابل، $x=0$، $y=0$ يعطي $f(0)=1/3<2$، إذن $O\in {\mathcal{E}}_3$.

نتحقق أن $O=(0,0)$ يقع خارج القرص ذي المركز $\Omega (13/3,0)$ ونصف القطر $8/3$: $|O\Omega |=13/3>8/3$. وبذلك ${\mathcal{E}}_3$ هي متممة القرص المفتوح، أي مجموعة النقط الخارجية عن الدائرة ${\mathcal{E}}_2$ (مع الحدود).

بما أن ${\mathcal{E}}_3$ غير محدودة، لا يمكن نسب مساحة منتهية لها. إذا كان السؤال يتعلق بالجزء المحدود المحصور بالدائرة ${\mathcal{E}}_2$، فمساحة القرص المرتبط هي $$\mathcal{A}=\pi r^2=\pi \times \frac{64}{9}=\frac{64\pi }{9}.$$

المرحلة 5 — التركيب والحصيلة.

• $AB=4$، المنتصف $I(1,0)$.
• ${\mathcal{E}}_1$: مستقيم (المحل الهندسي غير محدد، مُحصّل عليه بالانتقال إلى النهاية في صيغة أبولونيوس).
• ${\mathcal{E}}_2$: دائرة ذات المركز $\Omega \left(\frac{13}{3},0\right)$ ونصف القطر $r=\frac{8}{3}$.
• ${\mathcal{E}}_3$: خارج الدائرة ${\mathcal{E}}_2$ (مع الحدود)؛ مساحة القرص المحصور بـ ${\mathcal{E}}_2$ تساوي $\frac{64\pi }{9}$.