الأعداد العقدية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — معيار $z_0$.

نحسب $$|z_0|=\sqrt{7^2+(-24{)}^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25.$$

إذن $|z_0|=25$.

المرحلة 2 — وضع النظام لإيجاد الجذرين التربيعيين.

نبحث عن $z=a+ib$ بحيث $z^2=z_0=7-24i$. بالتطوير:

بمطابقة الجزأين الحقيقي والتخيلي، وباستعمال $|z{|}^2=|z_0|$ (أي $a^2+b^2=|z_0|=25$)، نحصل على النظام:

المرحلة 3 — حل النظام واختيار الإشارات (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

بجمع وطرح المعادلتين (1) و(3):

لدينا إذن $a=\pm 4$ و $b=\pm 3$. بما أن $a^2=16>b^2=9$، نحتفظ بـ $a=4$ (القيمة الموجبة الأكبر) و، بشكل مستقل، $b=3$ أو $b=-3$.

نحصل بذلك على الجذرين التربيعيين:

المرحلة 4 — تبسيط المعامل الثابت وحل المعادلة من الدرجة الثانية.

نحسب $\frac{z_0}{4}=\frac{7-24i}{4}=\frac{7}{4}-6i$.

المعامل الثابت يساوي:

المعادلة إذن هي $Z^2-(3+i)Z+\left(-\frac{3}{4}+14i\right)=0$، ومميزها $\Delta =z_0=7-24i$.

الجذران التربيعيان لـ $\Delta$ هما (حسب المرحلة 3) $z_1=4+3i$ و $z_2=4-3i$. الحلول هي:

المرحلة 5 — الشكل المثلثي للحلول.

من أجل $Z_1=\frac{7}{2}+2i$:

$\arg (Z_1)=\arctan \left(\frac{2}{7/2}\right)=\arctan \left(\frac{4}{7}\right)$ (الربع الأول).

من أجل $Z_2=-\frac{1}{2}-i$:

$Z_2$ يقع في الربع الثالث، إذن $\arg (Z_2)=\pi +\arctan \left(\frac{1}{1/2}\right)=\pi +\arctan (2)$ (بمعامل $2\pi$، يمكن أيضًا كتابة $-\pi +\arctan (2)$ كقيمة أساسية).

وبذلك: