الأعداد العقدية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 – حساب $z_0$ والتحقق من $|z_0|=1$.

نضرب البسط والمقام في مرافق المقام $\overline{(1-i)}=1+i$:

$$z_0=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{(1+i{)}^2}{1^2+1^2}=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{1+2i-1}{2}=\frac{2i}{2}=i$$

إذن $z_0=i$. نتحقق: $|z_0|=|i|=1$. ✓

نلاحظ أيضًا أن $\overline{z_0}=\overline{i}=-i$.

المرحلة 2 – حساب $z_1$.

لدينا $z_0=i$ و $\overline{z_0}=-i$، إذن:

$$z_1=\frac{z_0+2}{\overline{z_0}+1}=\frac{i+2}{-i+1}=\frac{2+i}{1-i}$$

نضرب في $\frac{1+i}{1+i}$:

$$z_1=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1+1}=\frac{2+3i-1}{2}=\frac{1+3i}{2}$$

وبالتالي $z_1=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$.

المرحلة 3 – حساب $\overline{z_1}$ ثم $z_2$ (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

لدينا $z_1=\frac{1+3i}{2}$. لحساب $\overline{z_1}$، نطبق المرافق:

$$\overline{z_1}=\overline{\left(\frac{1+3i}{2}\right)}=\frac{\overline{1+3i}}{2}=\frac{1-3i}{2}$$

(تركنا المقام $2$ دون تغيير لأنه حقيقي، وهذا صحيح هنا.)

نحسب الآن $z_2$:

$$z_2=\frac{z_1+2}{\overline{z_1}+1}=\frac{\frac{1+3i}{2}+2}{\frac{1-3i}{2}+1}=\frac{\frac{1+3i+4}{2}}{\frac{1-3i+2}{2}}=\frac{5+3i}{3-3i}$$

نبسّط بالضرب في $\frac{3+3i}{3+3i}$:

$$z_2=\frac{(5+3i)(3+3i)}{(3-3i)(3+3i)}=\frac{15+15i+9i+9i^2}{9+9}=\frac{15+24i-9}{18}=\frac{6+24i}{18}=\frac{1+4i}{3}$$

نتحقق من $|z_2|$: $|z_2|=\frac{\sqrt{1+16}}{3}=\frac{\sqrt{17}}{3}\approx 1,37$.

ملاحظة: كنا نتوقع $|z_2|=1$ إذا كان $z_2=e^{i{\theta }_2}$، لكن لنتابع.

المرحلة 4 – حساب $\overline{w_n}$ انطلاقًا من $w_n=\frac{z_n-i}{z_n+i}$.

نطبق المرافق على $w_n$. باستعمال خاصية مرافق الحاصل، نكتب:

$$\overline{w_n}=\overline{\left(\frac{z_n-i}{z_n+i}\right)}=\frac{\overline{z_n-i}}{\overline{z_n+i}}$$

لكن $\overline{z_n-i}=\overline{z_n}-\overline{i}=\overline{z_n}+i$ و $\overline{z_n+i}=\overline{z_n}+\overline{i}=\overline{z_n}-i$.

إذن:

$$\overline{w_n}=\frac{\overline{z_n}+i}{\overline{z_n}-i}$$

هذه هي النتيجة المطلوبة بالضبط. ✓

المرحلة 5 – حساب $w_n\cdot \overline{w_n}$ والاستنتاج بخصوص $|w_n|$.

نضع $Z=z_n$ و $\bar{Z}=\overline{z_n}$ لتبسيط الكتابة. لدينا:

$$w_n\cdot \overline{w_n}=\frac{Z-i}{Z+i}\cdot \frac{\bar{Z}+i}{\bar{Z}-i}$$

لكن $|w_n{|}^2=w_n\cdot \overline{w_n}$. نحسب المعيار مباشرة:

$$|w_n{|}^2={\left|\frac{Z-i}{Z+i}\right|}^2=\frac{|Z-i{|}^2}{|Z+i{|}^2}$$

إذا كان $z_n=e^{i{\theta }_n}$، فإن $|z_n|=1$. نضع $z_n=a+bi$ حيث $a^2+b^2=1$. إذن:

$$|z_n-i{|}^2=a^2+(b-1{)}^2=a^2+b^2-2b+1=1-2b+1=2-2b$$

$$|z_n+i{|}^2=a^2+(b+1{)}^2=a^2+b^2+2b+1=1+2b+1=2+2b$$

هاتان الكميتان مختلفتان بصفة عامة، إذن $|w_n{|}^2=\frac{2-2b}{2+2b}$، وهو ليس بالضرورة مساويًا لـ $1$.

وبالمقابل، باستعمال $\overline{w_n}=\frac{\bar{Z}+i}{\bar{Z}-i}$، نلاحظ أن $\overline{w_n}=\frac{1}{w_n}$ (لأن $\frac{\bar{Z}+i}{\bar{Z}-i}=\frac{1}{\frac{\bar{Z}-i}{\bar{Z}+i}}$ و $\overline{{\left(\frac{Z-i}{Z+i}\right)}^{-1}}=\frac{1}{w_n}$... هذا الاستدلال يتطلب $|z_n|=1$).

بما أن $|z_n|=1$، فإن $\bar{Z}=\frac{1}{Z}$، إذن $\bar{Z}-i=\frac{1-iZ}{Z}$ و $\bar{Z}+i=\frac{1+iZ}{Z}$، ومنه $\overline{w_n}=\frac{1+iZ}{1-iZ}=\frac{1}{w_n}$. وبالتالي $w_n\cdot \overline{w_n}=1$، أي $|w_n{|}^2=1$، إذن $|w_n|=1$. ✓

المرحلة 6 – العودة إلى $z_2$: تصحيح حساب $\overline{z_1}$ (المرحلة الخاطئة).

في الواقع، لنعد إلى السؤال 3 للتحقق من $|z_2|=1$. حصلنا على $z_1=\frac{1+3i}{2}$. لنتحقق من $|z_1|$:

$$|z_1|=\frac{\sqrt{1^2+3^2}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\ne 1$$

هذا يعني أن $z_1$ ليس معياره $1$. لنبحث عن أصل التناقض. في الواقع، لحساب $\overline{z_1}$ حيث $z_1=\frac{1+3i}{2}$، كتبنا:

$$\overline{z_1}=\frac{\overline{1+3i}}{2}=\frac{1-3i}{2}$$

هذا صحيح لأن $2\in \mathbb{R}$ إذن $\overline{2}=2$. التناقض يأتي في الواقع من حساب $z_1$ نفسه. لنعد إلى $z_1=\frac{2+i}{1-i}$:

$$z_1=\frac{(2+i)(1+i)}{2}=\frac{2+2i+i-1}{2}=\frac{1+3i}{2}$$

لدينا فعلًا $|z_1|=\frac{\sqrt{10}}{2}$. هذا يبين أن المتتالية $(z_n)$ لا تحافظ على المعيار $1$ بصفة عامة، وأن الخاصية $z_n=e^{i{\theta }_n}$ لا تتحقق إلا تحت فرضيات إضافية. على أي حال، من أجل $\overline{z_1}$، نحصل على:

$$\overline{z_1}=\frac{1-3i}{2}$$

ويُستنتج حساب $z_2=\frac{1+4i}{3}$ بشكل صحيح من هذه القيمة، حيث $|z_2|=\frac{\sqrt{17}}{3}$.

لكن، لو أردنا تطبيق المرافق على $z_1=\frac{2+i}{1-i}$ قبل التبسيط، كان يجب أن نكتب:

$$\overline{z_1}=\overline{\left(\frac{2+i}{1-i}\right)}=\frac{\overline{2+i}}{\overline{1-i}}=\frac{2-i}{1+i}$$

بالتبسيط: $\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{2}=\frac{2-2i-i-1}{2}=\frac{1-3i}{2}$. نجد نفس النتيجة بالضبط. كل شيء متوافق.

ملاحظة أخيرة: في تمرين لا يكون فيه المقام حقيقيًا، فإن إغفال أخذ مرافق المقام يؤدي إلى خطأ. هذا بالضبط فخ الخطأ $E\_CPX\_002$.