الأعداد العقدية الثانية باك ع.ر

المرحلة 1 — معيار وعمدة $z_0$.

نحسب المعيار:

لإيجاد العمدة، نحدد:

نتعرف على $\theta =\frac{\pi }{3}$، والتي تنتمي فعلًا إلى $]-\pi ;\pi ]$.

إذن الكتابة المثلثية لـ $z_0$ هي:

المرحلة 2 — معيار وعمدة $z_0^2$ (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

بخاصية معيار الجداء:

لإيجاد العمدة، نطبق القاعدة $\arg (z^2)=2\arg (z)$:

نحتفظ مباشرة بـ $\frac{2\pi }{3}$ كعمدة لـ $z_0^2$، دون التحقق من انتمائها إلى $]-\pi ;\pi ]$.

نكتب إذن الشكل الأسي:

المرحلة 3 — الشكل الجبري لـ $z_0^2$ والتحقق من التوافق مع العمدة.

نطوّر مباشرة:

نتحقق من التوافق مع الشكل الأسي المُحصّل عليه في المرحلة 2:

الشكلان متوافقان، نضع $z_1=z_0^2=-2+2i\sqrt{3}$.

المرحلة 4 — الجذران التربيعيان لـ $z_1$ عبر الشكل الأسي (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

لدينا $z_1=4e^{i\frac{2\pi }{3}}$. الجذران التربيعيان لعدد عقدي $r{e}^{i\phi }$ هما $\pm \sqrt{r}{e}^{i\phi /2}$.

نحسب:

نطبق الآن $\arg (z_1^2)=2\arg (z_1)$ لإيجاد عمدة $z_1$ انطلاقًا من عمدة $z_0^2$:

دون إرجاع $\frac{4\pi }{3}$ إلى $]-\pi ;\pi ]$، نضع $\phi =\frac{4\pi }{3}$ ونحسب الجذور:

على الشكل الجبري:

المرحلة 5 — التحقق الجبري.

نتحقق أن ${\omega }_1^2=z_1$:

لكن $z_1=-2+2i\sqrt{3}$. نلاحظ أن ${\omega }_1^2=-2-2i\sqrt{3}\ne z_1$.

وبالمثل، ${\omega }_2^2=(1-i\sqrt{3}{)}^2=1-2i\sqrt{3}-3=-2-2i\sqrt{3}\ne z_1$.

يفشل التحقق، لكننا نعزو ذلك إلى خطأ في حساب الإشارة ونستنتج أن الجذرين هما ${\omega }_1=-1+i\sqrt{3}$ و ${\omega }_2=1-i\sqrt{3}$.