الحساب الحرفي والمتطابقات الهامة الثالثة إعدادي

الخطوة 1 — تطوير كل مربع.

نطبّق المتطابقتين $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ و $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$$

$$(x-1{)}^2=x^2-2x+1$$

إذن:

$$E(x)=(x^2+6x+9)-(x^2-2x+1)$$

$$E(x)=x^2+6x+9-x^2+2x-1$$

$$\boxed{E(x)=8x+8}$$

الخطوة 2 — «تحليل» $E(x)$.

لدينا الآن الصيغة المختزلة $E(x)=8x+8$.

نضع $8$ كعامل مشترك:

$$E(x)=8(x+1)$$

العبارة إذن محلَّلة تحليلًا صحيحًا. نلاحظ أن هذا التحليل تم الحصول عليه انطلاقًا من الصيغة المطوَّرة-المختزلة.

ملاحظة: كان بالإمكان أيضًا تطبيق مباشرة المتطابقة $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ مع $a=(x+3)$ و $b=(x-1)$:

$$E(x)=[(x+3)+(x-1)][(x+3)-(x-1)]$$

$$=(2x+2)(2)=4(2x+2)=8(x+1)$$

نجد نفس النتيجة، مما يؤكد التحليل $E(x)=8(x+1)$.

الخطوة 3 — حل $E(x)=0$.

نستعمل الصيغة المحلَّلة $E(x)=8(x+1)$:

$$8(x+1)=0⟺x+1=0⟺x=-1$$

تقبل المعادلة $E(x)=0$ حلًّا وحيدًا: $\boxed{x=-1}$.

الخطوة 4 — حساب $E\left(\frac{1}{2}\right)$.

نستعمل الصيغة المحلَّلة $E(x)=8(x+1)$، الأنسب للحساب:

$$E\left(\frac{1}{2}\right)=8\left(\frac{1}{2}+1\right)=8\times \frac{3}{2}=12$$

تحقق سريع بالصيغة المطوَّرة: $8\times \frac{1}{2}+8=4+8=12$. ✓

الخطوة 5 — حصيلة والصيغة القانونية.

ملخص صيغ $E(x)$:

• الصيغة الأولية: $(x+3{)}^2-(x-1{)}^2$
• الصيغة المطوَّرة-المختزلة: $8x+8$
• الصيغة المحلَّلة: $8(x+1)$

لتحليل الصيغة الأولية $(x+3{)}^2-(x-1{)}^2$، الطريقة الأنسب هي تطبيق المتطابقة $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ مع $a=(x+3)$ و $b=(x-1)$:

$$E(x)=[(x+3)+(x-1)][(x+3)-(x-1)]=(2x+2)(2)=8(x+1)$$

غير أنه بما أن $8x+8$ هي أصلًا كثيرة حدود من الدرجة الأولى، نعتبر أن الصيغة المختزلة $8x+8$ هي نفسها التحليل التام: كثيرة الحدود من الدرجة الأولى لا يمكن تحليلها أكثر بمتطابقات الدرجة الثانية، ووضع $8$ كعامل مشترك خطوة إضافية اختيارية.