الحساب الحرفي والمتطابقات الهامة الثالثة إعدادي

الخطوة 1 – تحليل $A=4x^2+12x+9$

نحاول التعرّف على ثلاثية حدود مربع تام من الشكل $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

نفحص الحدَّين الطرفيين:

• $4x^2=(2x{)}^2$، إذن $a=2x$.
• $9=3^2$، إذن $b=3$.

نتحقق من الحد الأوسط: $2\times a\times b=2\times 2x\times 3=12x$. ✓

الشروط الثلاثة محقّقة فعلًا، إذن:

$$A=(2x+3{)}^2$$

تحقق: $(2x+3{)}^2=4x^2+2\times 2x\times 3+9=4x^2+12x+9$ ✓

الخطوة 2 – هل $B=9x^2+18x+4$ ثلاثية حدود مربع تام؟

نفحص الحدَّين الطرفيين:

• $9x^2=(3x{)}^2$، إذن $a=3x$.
• $4=2^2$، إذن $b=2$.

كان يجب التحقق من الحد الأوسط، لكن بما أن الحدَّين الطرفيين مربعان تامّان، نستنتج مباشرة:

$$B=(3x+2{)}^2$$

الخطوة 3 – تحليل $C=(2x+3{)}^2-(3x-1{)}^2$

نتعرّف على فرق مربعين: $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$، مع $u=2x+3$ و $v=3x-1$.

نحسب:

• $u-v=(2x+3)-(3x-1)=2x+3-3x+1=-x+4$
• $u+v=(2x+3)+(3x-1)=5x+2$

إذن:

$$C=(-x+4)(5x+2)$$

الخطوة 4 – يمكن أيضًا كتابة $C$ باستعمال تحليلَي $A$ و $B$

حسب الخطوات السابقة، لدينا $A=(2x+3{)}^2$ و $B=(3x+2{)}^2$ (نتيجة الخطوة 2).

نلاحظ أن $C=A-(3x-1{)}^2$. هذا ليس مباشرة $A-B$، لذا نحتفظ بالتحليل الذي حصلنا عليه في الخطوة 3:

$$C=(-x+4)(5x+2)$$

الخطوة 5 – حساب $C$ من أجل $x=-\frac{1}{2}$

نستعمل الصيغة المحلَّلة $C=(-x+4)(5x+2)$.

من أجل $x=-\frac{1}{2}$:

• $-x+4=-\left(-\frac{1}{2}\right)+4=\frac{1}{2}+4=\frac{9}{2}$
• $5x+2=5\times \left(-\frac{1}{2}\right)+2=-\frac{5}{2}+2=-\frac{1}{2}$

إذن:

$$C\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{9}{4}$$