الحساب الحرفي والمتطابقات الهامة الثالثة إعدادي

الخطوة 1 — تحليل $A=9x^2-25$

نتعرّف على فرق مربعين:

$$9x^2-25=(3x{)}^2-5^2$$

نطبّق المتطابقة $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ مع $a=3x$ و $b=5$:

$$A=(3x+5)(3x-5)$$

حل المعادلة $9x^2-25=0$:

$(3x+5)(3x-5)=0\Rightarrow 3x+5=0$ أو $3x-5=0$

$$x=-\frac{5}{3}\text{أو}x=\frac{5}{3}$$

مجموعة الحلول هي $S=\left\{-\frac{5}{3};\frac{5}{3}\right\}$.

الخطوة 2 — تحليل $B=4x^2+49$

نكتب $B$ على شكل مجموع مربعين:

$$4x^2+49=(2x{)}^2+7^2$$

نطبّق المتطابقة $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ باعتبار المجموع فرق مربعين، مع $a=2x$ و $b=7$:

$$B=(2x+7)(2x-7)$$

حل المعادلة $4x^2+49=0$:

$(2x+7)(2x-7)=0\Rightarrow 2x+7=0$ أو $2x-7=0$

$$x=-\frac{7}{2}\text{أو}x=\frac{7}{2}$$

مجموعة الحلول هي $S=\left\{-\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right\}$.

الخطوة 3 — تطوير $C=(3x+1{)}^2-(x-2{)}^2$

نطوّر كل مربع باستعمال المتطابقتين $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ و $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$$(3x+1{)}^2=9x^2+6x+1$$

$$(x-2{)}^2=x^2-4x+4$$

إذن:

$$C=(9x^2+6x+1)-(x^2-4x+4)=9x^2+6x+1-x^2+4x-4$$

$$C=8x^2+10x-3$$

الخطوة 4 — تحليل $C$ باستعمال المتطابقة $a^2-b^2$

نتعرّف مباشرة في $C=(3x+1{)}^2-(x-2{)}^2$ على فرق مربعين، مع $a=3x+1$ و $b=x-2$:

$$C=[(3x+1)+(x-2)][(3x+1)-(x-2)]$$

$$C=(3x+1+x-2)(3x+1-x+2)$$

$$C=(4x-1)(2x+3)$$

الخطوة 5 — حل $C=0$

حسب التحليل الذي حصلنا عليه في الخطوة 4:

$$(4x-1)(2x+3)=0$$

$$4x-1=0\text{أو}2x+3=0$$

$$x=\frac{1}{4}\text{أو}x=-\frac{3}{2}$$

مجموعة الحلول هي $S=\left\{-\frac{3}{2};\frac{1}{4}\right\}$.