مرجح مجموعة نقط الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 — وجود المرجح.

مجموع المعاملات هو $$\alpha =2+3+(-1)=4\ne 0.$$بما أن مجموع المعاملات غير منعدم، فإن المرجح $G$ موجود ووحيد.

المرحلة 2 — التعبير عن $\overrightarrow{BG}$ والانتماء إلى $(BC)$.

بتعريف المرجح، لدينا $$2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}+(-1)\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$$باستعمال علاقة شال مع النقطة $B$:

$$2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$$$2(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA})+3\overrightarrow{GB}-(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{0}$$$$4\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$$$$4\overrightarrow{GB}=-2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$لدينا $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}$، إذن $$\overrightarrow{BG}=-\overrightarrow{GB}=\frac{1}{4}(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}).$$حسنًا، لنعد الكتابة بشكل صحيح: $4\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$... لنعد باستعمال صيغة الانتقال.

صيغة الانتقال تعطي: لكل نقطة $B$، $$2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{BB}+(-1)\overrightarrow{BC}=(2+3-1)\overrightarrow{BG}$$$$2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BG}.$$إذن $$\overrightarrow{BG}=\frac{1}{4}(2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})=\frac{1}{4}(-2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}).$$بدلالة $\overrightarrow{BC}$: نكتب $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$... لنستعمل مباشرة: $$4\overrightarrow{BG}=2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}.$$نضع $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}$. لإثبات $G\in (BC)$، يكفي إثبات أن $\overrightarrow{BG}$ مرافقة لـ $\overrightarrow{BC}$. لكن إذا أخذنا $A=B$ (حالة خاصة)، فإن هذا لا يصلح. لنستعمل المرجح الجزئي: $G$ هو مرجح $(A,2)$ والمرجح الجزئي $G^{\prime }$ لـ $(B,3),(C,-1)$ بمعامل $3+(-1)=2$. $G^{\prime }$ هو مرجح $(B,3)$ و $(C,-1)$: $$\overrightarrow{B{G}^{\prime }}=\frac{-1}{3+(-1)}\overrightarrow{BC}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{BC}.$$إذن $G^{\prime }\in (BC)$. ثم $G$ هو مرجح $(A,2)$ و $(G^{\prime },2)$، إذن $G$ هو منتصف $[A{G}^{\prime }]$... هذا لا يبيّن $G\in (BC)$ مباشرة.

لنعد إلى الصيغة المباشرة: $$\overrightarrow{BG}=\frac{2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}}{4}.$$لكي تكون $G\in (BC)$، يلزم $\overrightarrow{BG}=t\overrightarrow{BC}$، وهذا يتطلب $\overrightarrow{BA}\parallel \overrightarrow{BC}$، وهو مستحيل بشكل عام. في الواقع، $G$ ليست على $(BC)$ بشكل عام — السؤال 2 يطلب فقط التعبير عن $\overrightarrow{BG}$.

نحتفظ بـ: $$\boxed{\overrightarrow{BG}=\frac{1}{4}(2\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})}.$$

المرحلة 3 — التعبير عن $\overrightarrow{MG}$ حيث $M$ منتصف $[AB]$.

نستعمل صيغة الانتقال للمرجح: لكل نقطة $P$، $$\sum _i{\alpha }_i\overrightarrow{P{A}_i}=\left(\sum _i{\alpha }_i\right)\overrightarrow{PG}.$$مطبقة على النقطة $M$:

$$2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+(-1)\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}.$$إذن $$\overrightarrow{MG}=\frac{1}{4}\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right).$$بما أن $M$ منتصف $[AB]$، لدينا $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$، أي $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}$. إذن:

$$\overrightarrow{MG}=\frac{1}{4}\left(2\overrightarrow{MA}+3(-\overrightarrow{MA})-\overrightarrow{MC}\right)=\frac{1}{4}\left(-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right).$$

نحصل على $$\boxed{\overrightarrow{MG}=-\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)}.$$

المرحلة 4 — حساب $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$.

نبحث عن قيمة $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$.

الخاصية المميزة للمرجح $G$ تؤكد أن $$2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$$لكن، المرجح مستقل عن نقطة الأصل: هذه العلاقة تبقى صحيحة أيًا كانت النقطة المستعملة كأصل. بشكل خاص، بالنسبة للنقطة $M$، يمكننا أن نكتب مباشرة:

$$2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$$

المرحلة 5 — الخلاصة.

حسب المرحلة 4، نستنتج أن $$2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$$تحقق بواسطة المرحلة 3: إذا كان $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$، فإن $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$، مما يعني $M=G$. يبدو هذا متسقًا مع حساباتنا.