مرجح مجموعة نقط الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 – حساب مجموع المعاملات.

نحسب:

مجموع المعاملات منعدم. لنتذكر القاعدة العامة:

• إذا كان $\alpha +\beta +\gamma \ne 0$، فإن العلاقة $\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}=\vec{0}$ تُعرِّف نقطة وحيدة (مرجح $(A,\alpha )$، $(B,\beta )$، $(C,\gamma )$).
• إذا كان $\alpha +\beta +\gamma =0$، لا يوجد مرجح بالمعنى الكلاسيكي؛ المجموعة تكون إما مستقيمًا، أو المجموعة الخالية، حسب توضع النقط.

نتوقع إذن أن تكون المجموعة مستقيمًا (أو ربما المجموعة الخالية إذا كانت العلاقة متناقضة).

المرحلة 2 – التعبير عن $\vec{R}(M)$ عبر نقطة مساعدة $\Omega$.

لكل نقطة $\Omega$، نستعمل علاقة شال: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{\Omega A}-\overrightarrow{\Omega M}$، وكذلك بالنسبة لـ $B$ و $C$. إذن:

بما أن $\alpha +\beta +\gamma =0$، فإن الحد في $\overrightarrow{\Omega M}$ يختفي ونحصل على:

هذا التعبير مستقل عن $M$: لا يتعلق إلا بمواقع $A$، $B$، $C$ والنقطة المساعدة $\Omega$. العلاقة $\vec{R}(M)=\vec{0}$ تكون إذن إما محققة من طرف جميع النقط $M$ (إذا كانت المتجهة الثابتة منعدمة)، أو من طرف لا أحد.

المرحلة 3 – الانتقال إلى الإحداثيات مع $A(2,1)$، $B(0,3)$، $C(1,-1)$، $M(x,y)$.

نحسب المتجهات:

نطوّر $\vec{R}(M)=3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}$ مركبة تلو الأخرى.

المركبة على $x$:

المركبة على $y$:

نحصل إذن على $\vec{R}(M)=(4,2)$ لكل $M$، مما يؤكد أن $\vec{R}(M)$ متجهة ثابتة غير منعدمة، مستقلة عن $M$.

النظام الواجب حله هو:

المرحلة 4 – حل النظام (المرحلة التي تحتوي على الخطأ).

لدينا النظام:

بإلغاء كل مركبة على حدة، نبحث عن قيم $x$ و $y$ التي تحقق المعادلتين في آن واحد. المعادلة الأولى تعطي:

نفسّر هذا كقيد على $x$ و $y$ مقترنين. بجمع المعادلتين، نكوّن النسبة:

بالتعويض في المعادلة الأولى: $4=0$ تصبح $4-2(2)=0$، أي $0=0$. نستنتج أن القيد هو $y=2x$، ونبحث عن نقطة خاصة بفرض $x=1$:

نستنتج أن النقطة الوحيدة التي تحقق العلاقة هي $M_0(1,2)$.

المرحلة 5 – الخلاصة بخصوص المجموعة الهندسية.

حسب حل النظام في المرحلة 4، النقطة الوحيدة $M$ من المستوى التي تحقق $3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ هي النقطة $M_0(1,2)$.

المجموعة الهندسية تنحصر إذن في النقطة الوحيدة $M_0(1,2)$.

تحقق: نحسب $\vec{R}(M_0)$:

النتيجة هي $(4,2)$، مما يؤكد (حسب استدلال المرحلة 4) أن $M_0$ هي فعلًا النقطة المطلوبة.