مرجح مجموعة نقط الأولى باك ع.ر

وجود المرجح والتعبير عن $\overrightarrow{OG}$.

مجموع المعاملات هو:

$$\alpha +\beta +\gamma +\delta =2+3+(-1)+4=8\ne 0$$

المجموع غير منعدم، إذن المرجح $G$ موجود.

بالتعريف، لكل نقطة $O$:

$$8\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+(-1)\overrightarrow{OC}+4\overrightarrow{OD}$$

أي:

$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{8}\left(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}+4\overrightarrow{OD}\right)$$

حساب المرجحين الجزئيين $G_1$ و $G_2$.

مرجح $G_1$ لـ $\{(A,2);(B,3)\}$:

مجموع المعاملات هو $2+3=5\ne 0$، إذن $G_1$ موجود و:

$$5\overrightarrow{O{G}_1}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$$

مرجح $G_2$ لـ $\{(C,-1);(D,4)\}$:

مجموع المعاملات هو $-1+4=3\ne 0$، إذن $G_2$ موجود و:

$$3\overrightarrow{O{G}_2}=-\overrightarrow{OC}+4\overrightarrow{OD}$$

تطبيق خاصية التجميعية للتعبير عن $G$.

حسب خاصية التجميعية للمرجح، $G$ هو مرجح $\{(G_1,{\mu }_1);(G_2,{\mu }_2)\}$ حيث ${\mu }_1$ و ${\mu }_2$ هما المعاملان اللذان يُرفقان بكل مرجح جزئي.

نرفق بـ $G_1$ معامل النقطة الأولى من المجموعة، أي ${\mu }_1=2$ (معامل $A$)، وبـ $G_2$ معامل النقطة الأولى من المجموعة الثانية، أي ${\mu }_2=-1$ (معامل $C$).

إذن:

$$G=\text{bar}\{(G_1,2);(G_2,-1)\}$$

مجموع المعاملات يكون $2+(-1)=1$، مما يعطي:

$$\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{O{G}_1}-\overrightarrow{O{G}_2}$$

التحقق بالتطوير (باستعمال النتيجة المنحرفة).

نطوّر $\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{O{G}_1}-\overrightarrow{O{G}_2}$ بتعويض تعبيري $G_1$ و $G_2$:

$$\overrightarrow{OG}=2\cdot \frac{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{5}-\frac{-\overrightarrow{OC}+4\overrightarrow{OD}}{3}$$

$$=\frac{4\overrightarrow{OA}+6\overrightarrow{OB}}{5}+\frac{\overrightarrow{OC}-4\overrightarrow{OD}}{3}$$

$$=\frac{3(4\overrightarrow{OA}+6\overrightarrow{OB})+5(\overrightarrow{OC}-4\overrightarrow{OD})}{15}$$

$$=\frac{12\overrightarrow{OA}+18\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}-20\overrightarrow{OD}}{15}$$

هذه النتيجة مختلفة عن $\frac{1}{8}(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}+4\overrightarrow{OD})$ الموجودة في المرحلة 1، لكننا نتابع بهذه النتيجة.

العلاقة المتجهية بين $G$، $G_1$ و $G_2$، وموقع $G$ على $[G_1{G}_2]$.

حسب المرحلة 3، لدينا $\overrightarrow{OG}=2\overrightarrow{O{G}_1}-\overrightarrow{O{G}_2}$، وهو ما يُكتب:

$$\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{O{G}_1}=\overrightarrow{O{G}_1}-\overrightarrow{O{G}_2}$$

أي:

$$\overrightarrow{G_{1}G}=\overrightarrow{G_2{G}_1}$$

نستنتج أن $\overrightarrow{G_{1}G}=-\overrightarrow{G_1{G}_2}$، إذن $G$ يحقق $\overrightarrow{G_{1}G}=-\overrightarrow{G_1{G}_2}$.

هذا يعني أن $G$ لا تنتمي إلى القطعة $[G_1{G}_2]$ بل تقع خارجها، في الجهة المقابلة لـ $G_2$ بالنسبة إلى $G_1$.

بشكل خاص، $\overrightarrow{G_{1}G}=-1\cdot \overrightarrow{G_1{G}_2}$، إذن $G$، $G_1$، $G_2$ متحاذية مع $G_1$ بين $G$ و $G_2$.

الخلاصة.

بالمعاملين ${\mu }_1=2$ و ${\mu }_2=-1$، المجموع ${\mu }_1+{\mu }_2=1$ والعلاقة المتجهية المحصل عليها هي:

$$\overrightarrow{G_{1}G}=-\overrightarrow{G_1{G}_2}$$

$G$ لا تنتمي إذن إلى القطعة $[G_1{G}_2]$: إنها تقع خارج هذه القطعة، بشكل متناظر مع $G_2$ بالنسبة إلى $G_1$.