مرجح مجموعة نقط الأولى باك ع.ر

المرحلة 1 – حساب مجموع المعاملات للأنظمة الثلاثة.

بالنسبة لكل نظام، نجمع المعاملات المرفقة بكل نقطة:

• النظام (I): ${\alpha }_I=3+(-1)+2=4$
• النظام (II): ${\alpha }_{II}=2+(-3)+1=0$
• النظام (III): ${\alpha }_{III}=1+2+(-3)=0$

نحصل إذن على ${\alpha }_I=4$، ${\alpha }_{II}=0$ و ${\alpha }_{III}=0$.

المرحلة 2 – وجود المرجحات (السؤال 1).

تذكير: مرجح نظام من النقط المرجَّحة $\{(A_i,{\alpha }_i)\}$ موجود إذا وفقط إذا كان $\sum _i{\alpha }_i\ne 0$.

• النظام (I): ${\alpha }_I=4\ne 0$، إذن المرجح $G_1$ موجود.
• النظام (II): ${\alpha }_{II}=0$، إذن المرجح غير موجود. الخلاصة: لا يوجد ما يُقال أكثر بخصوص هذا النظام.
• النظام (III): ${\alpha }_{III}=0$، إذن المرجح غير موجود. الخلاصة: لا يوجد ما يُقال أكثر بخصوص هذا النظام.

المرحلة 3 – إنشاء المرجح $G_1$ للنظام (I) (السؤال 2).

نستعمل طريقة المرجحات الجزئية. نجمع أولًا $A$ و $B$:

ليكن $H$ مرجح $\{(A,3),(B,-1)\}$. المجموع الجزئي يساوي $3+(-1)=2\ne 0$، إذن $H$ موجود ويحقق:

بشكل أدق، $H$ مُعرَّف بـ $3\overrightarrow{HA}+(-1)\overrightarrow{HB}=\vec{0}$، أي $\overrightarrow{AH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \frac{1}{3+(-1)}$. لنطبق الصيغة الصحيحة:

ثم $G_1$ هو مرجح $\{(H,2),(C,2)\}$، إذن $G_1$ هو منتصف $HC$.

خلاصة: نضع $H$ على $[AB]$ بحيث $\overrightarrow{AH}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (أي أن $H$ خارج $[AB]$ من جهة $A$)، ثم $G_1$ هو منتصف $[HC]$.

المرحلة 4 – التفسير الهندسي عندما يكون المجموع منعدمًا (السؤال 3).

نعتبر المتجهة $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}$ لأي نقطة $M$.

مجموع المعاملات هو $3+2+(-5)=0$. عندما يكون مجموع المعاملات منعدمًا، تكون المتجهة $\overrightarrow{v}$ مستقلة عن النقطة $M$ المختارة. في الواقع، إذا عوّضنا $M$ بنقطة أخرى $M^{\prime }$، نحصل على:

إذن $\overrightarrow{v}$ متجهة ثابتة في المستوى، لا تتعلق إلا بالمواقع النسبية لـ $A$، $B$، $C$ وليس بالنقطة $M$. هذا هو المعنى الهندسي الأساسي لانعدام مجموع المعاملات: نحصل على متجهة حرة، وليس نقطة.

المرحلة 5 – السؤال 4: ثبات المرجح عند ضرب المعاملات.

نريد أن نبيّن أن $G_1$، مرجح $\{(A,3),(B,-1),(C,2)\}$، هو أيضًا مرجح $\{(A,6),(B,-2),(C,4)\}$.

بالتعريف، $G_1$ هو مرجح $\{(A,3),(B,-1),(C,2)\}$ إذا وفقط إذا كان:

بضرب الطرفين في $2$:

هذه المساواة الأخيرة تعني بالضبط أن $G_1$ هو مرجح $\{(A,6),(B,-2),(C,4)\}$. مجموع معاملات النظام الجديد هو $6+(-2)+4=8\ne 0$، مما يؤكد الوجود.

التفسير: ضرب جميع معاملات نظام في عدد حقيقي واحد غير منعدم لا يغيّر المرجح. هذا يوضح أن النسب بين المعاملات وحدها هي التي تحدد موقع المرجح.