الحساب في ℕ الجذع المشترك

الخطوة 1 — حساب $\text{PGCD}(12,18)$ باستخدام خوارزمية إقليدس.

نقوم بالقسمات الإقليدية المتتالية:

$$18=1\times 12+6$$

$$12=2\times 6+0$$

آخر باق غير منعدم هو $6$، إذن $\text{PGCD}(12,18)=6$.

نستنتج $\text{PPCM}(12,18)$ باستعمال العلاقة الصالحة من أجل عددين:

$$\text{PPCM}(12,18)=\frac{12\times 18}{\text{PGCD}(12,18)}=\frac{216}{6}=36.$$

الخطوة 2 — حساب $\text{PGCD}(12,18,30)$ بالتكرار.

نستعمل الخاصية $\text{PGCD}(a,b,c)=\text{PGCD}(\text{PGCD}(a,b),c)$.

لدينا سابقاً $\text{PGCD}(12,18)=6$. نحسب الآن $\text{PGCD}(6,30)$:

$$30=5\times 6+0$$

إذن $\text{PGCD}(6,30)=6$، وبالتالي:

$$\text{PGCD}(12,18,30)=6.$$

الخطوة 3 — حساب $\text{PPCM}(12,18,30)$.

يرغب التلميذ في استعمال صيغة مماثلة لتلك الخاصة بعددين. فيكتب:

$$\text{PGCD}(a,b,c)\times \text{PPCM}(a,b,c)=a\times b\times c$$

أي:

$$6\times \text{PPCM}(12,18,30)=12\times 18\times 30=6480$$

ومنه:

$$\text{PPCM}(12,18,30)=\frac{6480}{6}=1080.$$

الخطوة 4 — التحقق من تأكيد التلميذ.

حسب الحسابات السابقة، يحصل التلميذ على:

• الطرف الأيسر: $\text{PGCD}(12,18,30)\times \text{PPCM}(12,18,30)=6\times 1080=6480$.
• الطرف الأيمن: $a\times b\times c=12\times 18\times 30=6480$.

الطرفان متساويان، مما يبدو مؤكداً للصيغة. يستنتج التلميذ إذن أن العلاقة $\text{PGCD}(a,b,c)\times \text{PPCM}(a,b,c)=a\times b\times c$ صحيحة.

(هذا الاستنتاج خاطئ: التطابق العددي ناتج عن كون المضاعف المشترك الأصغر حُسب بواسطة هذه الصيغة الخاطئة نفسها؛ الاستدلال دائري.)

الخطوة 5 — الإجابة عن السؤال 4 (أصغر مضاعف مشترك).

أصغر عدد صحيح $n\ge 1$ قابل للقسمة على $12$ و $18$ و $30$ هو، بحكم التعريف، $\text{PPCM}(12,18,30)$.

باستعمال النتيجة (الخاطئة) المحصل عليها في الخطوة 3، يستنتج التلميذ:

$$n=\text{PPCM}(12,18,30)=1080.$$