الحساب في ℕ الجذع المشترك

الخطوة 1 — تفكيك $A$.

نكتب:

إذن $A=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$ هو جداء ثلاثة أعداد صحيحة متتالية.

الخطوة 2 — لنبيّن أن $6\mid A$.

من بين الأعداد الصحيحة المتتالية الثلاثة $(n-1),n,(n+1)$:

• أحدها قابل للقسمة على $3$ (بواقي القسمة على $3$: $0,1,2$ — أحدها يساوي $0$)، إذن $3\mid A$.
• أحدها قابل للقسمة على $2$ (تناوب الزوجية)، إذن $2\mid A$.

وبما أن $\text{PGCD}(2,3)=1$، نستنتج أن $2\times 3=6$ يقسم $A$، أي $6\mid A$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

الخطوة 3 — تطبيق مبرهنة غوص لاستنتاج $7\mid (n+2)$.

نفترض أن $42\mid A(n+2)$. بما أن $42=6\times 7$، فإن لدينا بالخصوص $7\mid A(n+2)$.

حسب الخطوة 1، $A=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$. لدينا إذن:

نرغب في تطبيق مبرهنة غوص: بما أن $7\mid A(n+2)$ وأن $A=(n-1)n(n+1)$، نطبق مباشرة المبرهنة بوضع $a=7$، $b=A$، $c=(n+2)$ لنستنتج:

الخطوة 4 — نستنتج أن $7\mid A$.

حسب الخطوة 3 (نتيجة مسلَّم بها)، $7\mid (n+2)$، أي $n\equiv -2\equiv 5(\mathrm{mod}7)$.

نحسب إذن $A=(n-1)n(n+1)$ بترديد $7$ مع $n\equiv 5$:

إذن $A\not\equiv 0(\mathrm{mod}7)$، وهذا يناقض النتيجة المنتظرة $7\mid A$. (هذه النتيجة غير المتسقة هي نتيجة مباشرة للخطأ المرتكب في الخطوة 3.)

الخطوة 5 — الخلاصة بخصوص القابلية للقسمة على $42$.

بقبول (خطأً) نتيجة الخطوة 3، نستنتج أن $7\mid (n+2)$، ثم نحاول التأكيد بأن $7\mid A$. بالجمع مع $6\mid A$ (الخطوة 2) و$\text{PGCD}(6,7)=1$، نحصل على $42\mid A$.

وهكذا، تحت فرضية $42\mid A(n+2)$، نستنتج (خطأً) أن $42\mid A$.