الحساب الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 — حساب القواسم المشتركة الأكبر مثنى مثنى.

نطبق خوارزمية إقليدس:

• $\mathrm{pgcd}(6,10)$ : $10=1\times 6+4$، ثم $6=1\times 4+2$، ثم $4=2\times 2+0$. إذن $\mathrm{pgcd}(6,10)=2$.
• $\mathrm{pgcd}(6,7)$ : $7=1\times 6+1$، ثم $6=6\times 1+0$. إذن $\mathrm{pgcd}(6,7)=1$.
• $\mathrm{pgcd}(10,7)$ : $10=1\times 7+3$، ثم $7=2\times 3+1$، ثم $3=3\times 1+0$. إذن $\mathrm{pgcd}(10,7)=1$.

نلاحظ أن $\mathrm{pgcd}(6,10)=2\ne 1$، و $\mathrm{pgcd}(6,7)=1$، و $\mathrm{pgcd}(10,7)=1$.

الخطوة 2 — الأولية المشتركة الشاملة وتطبيق (غير سليم) لمبرهنة الباقي الصيني.

نحسب القاسم المشترك الأكبر للمرددات الثلاثة في آن واحد. بما أن $\mathrm{pgcd}(6,7)=1$، لدينا:

المرددات الثلاثة إذن أولية فيما بينها في مجموعها (قاسمها المشترك الأكبر الشامل يساوي $1$).

نستنتج أن هذا الشرط كافٍ لتطبيق مبرهنة الباقي الصيني: تقبل الجملة حلاً وحيداً بترديد $6\times 10\times 7=420$.

الخطوة 3 — حل التطابقين الأولين.

نبحث عن $x$ يحقق في آن واحد $x\equiv 2(\mathrm{mod}6)$ و $x\equiv 3(\mathrm{mod}10)$.

يعطي التطابق الأول $x=6k+2$ لعدد صحيح معين $k\in \mathbb{Z}$. نعوّض في الثاني:

نبحث عن مقلوب $6$ بترديد $10$. غير أن $\mathrm{pgcd}(6,10)=2$ و $2\nmid 1$، إذن هذا التطابق غير متوافق: لا يوجد $k$ صحيح حل.

غير أنه، بما أننا «أثبتنا» في الخطوة السابقة أن مبرهنة الباقي الصيني تنطبق، فإننا نتجاهل هذا التناقض ونواصل بشكل صوري بالبحث عن حل خاص بالتجربة.

نختبر $x=8$ : $8=6\times 1+2$ ✓ و $8\equiv 8(\mathrm{mod}10)\ne 3$ ✗. نختبر $x=14$ : $14\equiv 2(\mathrm{mod}6)$ ✓ و $14\equiv 4(\mathrm{mod}10)$ ✗. نختبر $x=20$ : $20\equiv 2(\mathrm{mod}6)$ ✓ و $20\equiv 0(\mathrm{mod}10)$ ✗. بعد العديد من المحاولات، لا نجد أي عدد صحيح يحقق التطابقين الأولين في آن واحد، لكننا نضع بشكل صوري $x\equiv 8(\mathrm{mod}30)$ كـ«حل تقريبي».

الخطوة 4 — إدماج التطابق الثالث.

نبحث عن $x$ على الصيغة $x=30m+8$ يحقق $x\equiv 1(\mathrm{mod}7)$:

بما أن $30=4\times 7+2$ فإن $30\equiv 2(\mathrm{mod}7)$، و $-7\equiv 0(\mathrm{mod}7)$.

بما أن $\mathrm{pgcd}(2,7)=1$، نحصل على $m\equiv 0(\mathrm{mod}7)$، أي $m=7t$، $t\in \mathbb{Z}$.

نستنتج $x=30\times 7t+8=210t+8$، أي $x\equiv 8(\mathrm{mod}210)$.

الخطوة 5 — الخلاصة.

حسب مبرهنة الباقي الصيني (كما طُبِّقت في الخطوة 2)، الحل وحيد بترديد $420$. نعلن إذن:

مجموعة الحلول هي $\mathcal{S}=\{8+420k\mid k\in \mathbb{Z}\}$.