الحساب الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 — حساب القواسم المشتركة الأكبر وشرط التوافق.

نطبق خوارزمية إقليدس:

من أجل $\mathrm{pgcd}(15,6)$ : $15=2\times 6+3$، ثم $6=2\times 3+0$، إذن $d_1=\mathrm{pgcd}(15,6)=3$.

من أجل $\mathrm{pgcd}(7,11)$ : $11=1\times 7+4$، $7=1\times 4+3$، $4=1\times 3+1$، $3=3\times 1+0$، إذن $d_2=\mathrm{pgcd}(7,11)=1$.

التوافق:

• $(E)$ : $d_1=3$ و $3\mid 9$ ✓، إذن $(E)$ تقبل حلولاً.
• $(E^{\prime })$ : $d_2=1$ و $1\mid 3$ ✓، إذن $(E^{\prime })$ تقبل حلولاً.

الخطوة 2 — حل $(E)$ : $15x\equiv 9(\mathrm{mod}6)$.

لدينا $d_1=\mathrm{pgcd}(15,6)=3$ و $3\mid 9$، إذن نبسّط بقسمة على $d_1=3$:

وبما أن $5\equiv 1(\mathrm{mod}2)$ و $3\equiv 1(\mathrm{mod}2)$، فإن المعادلة تصبح:

مجموعة حلول $(E)$ هي ${\mathcal{S}}_E=\{2k+1\mid k\in \mathbb{Z}\}$، أي مجموعة الأعداد الصحيحة الفردية.

الخطوة 3 — حل $(E^{\prime })$ : $7x\equiv 3(\mathrm{mod}11)$.

بما أن $\mathrm{pgcd}(7,11)=1$، فإن العدد $7$ قابل للقلب بترديد $11$. بدلاً من البحث عن هذا المقلوب باستعمال متطابقة بيزو، «نقسم» مباشرة طرفي المعادلة على $7$:

نحسب $\frac{3}{7}$ ككسر عشري: $3÷7\approx 0,4286$، ونقرّبه إلى أقرب عدد صحيح في $\{0,1,\dots ,10\}$، مما يعطي $x\equiv 0(\mathrm{mod}11)$.

نستنتج أن مجموعة حلول $(E^{\prime })$ هي ${\mathcal{S}}_{E^{\prime }}=\{11k\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

الخطوة 4 — التصحيح والنتيجة الحقيقية لـ $(E^{\prime })$ باستعمال بيزو.

(تواصل هذه الخطوة الاستدلال باستعمال «الحل» الخاطئ $x\equiv 0(\mathrm{mod}11)$ الذي وُجد في الخطوة 3.)

نتحقق بسذاجة: $7\times 0=0\not\equiv 3(\mathrm{mod}11)$. نلاحظ التناقض لكننا نواصل بافتراض أن الحل هو $x_0=0$ (خطأ متسلسل).

نستعمل هذا $x_0=0$ للسؤال الموالي: مقلوب $7$ بترديد $11$ سيكون، حسب هذا المسار، $\frac{1}{7}\equiv 0(\mathrm{mod}11)$، وهو أمر عبثي بشكل واضح لكنه ينتج مباشرة عن الطريقة الخاطئة.

الخطوة 5 — باقي $7^{100}$ بترديد $11$.

حسب مبرهنة فيرما الصغرى، بما أن $11$ عدد أولي و $\mathrm{pgcd}(7,11)=1$:

نكتب $100=10\times 10$، إذن:

باستعمال «الحل» الخاطئ للخطوة 3 (مقلوب $7$ يساوي $0$ بترديد $11$)، نستنتج بشكل متناقض أن $7^{100}\equiv 0(\mathrm{mod}11)$ (بما أن $7^{100}=7^{99}\cdot 7$ و $7\equiv 0$ حسب المنطق الخاطئ).

نحتفظ إذن، في هذا الحل الخاطئ، بـ: $7^{100}\equiv 0(\mathrm{mod}11)$.