الحساب الثانية باك ع.ر

الخطوة 1 – الجزء أ: حساب القاسم المشترك الأكبر لـ $a$ و $b$.

ننجز التركيبة الخطية التالية:

$$2b-3a=2(3n+2)-3(2n+1)=6n+4-6n-3=1.$$

ليكن $d=\mathrm{pgcd}(a,b)$. إذن $d\mid a$ و $d\mid b$، وبالتالي $d\mid (2b-3a)=1$. إذن $d=1$، و$a$ و$b$ أوليان فيما بينهما فعلاً من أجل كل عدد صحيح $n$.

الخطوة 2 – زوجية $a$ و $b$.

$a=2n+1$ فردي من أجل كل عدد صحيح $n$ (فهو من الشكل $2k+1$). إذن $2\nmid a$.

$b=3n+2$. نميز حالتين:
– إذا كان $n$ زوجيًا، $n=2k$، فإن $b=6k+2=2(3k+1)$، إذن $b$ زوجي.
– إذا كان $n$ فرديًا، $n=2k+1$، فإن $b=3(2k+1)+2=6k+5$، إذن $b$ فردي.

وهكذا يمكن أن يكون $b$ زوجيًا أو فرديًا حسب زوجية $n$. وبالخصوص، $2\nmid a$ في جميع الحالات، لكن $2\mid b$ ممكن (عندما يكون $n$ زوجيًا).

الخطوة 3 – تطبيق مبرهنة غوص على العامل $2$.

لنفترض أن $6\mid ab$. إذن بالخصوص $2\mid ab$.

العدد $2$ أولي، إذن مبرهنة غوص تنطبق بشكل مشروع: $2\mid ab\Rightarrow 2\mid a$ أو $2\mid b$.

وبما أننا بيّنّا أن $2\nmid a$ (لأن $a=2n+1$ فردي دائمًا)، فإن بالضرورة $2\mid b$، ما يفرض أن يكون $n$ زوجيًا.

وبالمثل، $6\mid ab$ يستلزم $3\mid ab$. العدد $3$ أولي، إذن بمبرهنة غوص: $3\mid a$ أو $3\mid b$.

الخطوة 4 – تطبيق مبرهنة غوص على العامل $6$ (الخطوة التي تحتوي على الخطأ).

بما أن $6\mid ab$، نريد الاستنتاج مباشرةً بخصوص $a$ أو $b$. يطبّق التلميذ الاستدلال التالي:

«$6\mid ab$، إذن بمبرهنة غوص، $6\mid a$ أو $6\mid b$.»

نستنتج إذن: إما $6\mid a=2n+1$، وإما $6\mid b=3n+2$.

– إذا كان $6\mid (2n+1)$، فإن $2n+1\equiv 0(\mathrm{mod}6)$، أي $2n\equiv -1\equiv 5(\mathrm{mod}6)$. غير أن $2n$ زوجي و$5$ فردي: مستحيل.
– إذا كان $6\mid (3n+2)$، فإن $3n+2\equiv 0(\mathrm{mod}6)$، أي $3n\equiv -2\equiv 4(\mathrm{mod}6)$. لكن $3n$ قابل للقسمة على $3$ و$4$ ليس كذلك: مستحيل.

الاستنتاج (المنحرف): بما أن الحالتين مستحيلتان، فإن $6\nmid ab$ من أجل كل عدد صحيح $n$، وهو ما يُفترض أنه نتيجة مباشرة لمبرهنة غوص المطبَّقة على $6$.

الخطوة 5 – تحليل المثال المضاد والاستنتاج (استمرار منحرف).

باتباع استدلال الخطوة 4، نؤكد أن مبرهنة غوص، مطبَّقة على $6$، تمنع أن يكون $6\mid ab$ من أجل $a=2n+1$ و $b=3n+2$. نتحقق عدديًا:

– $n=0$: $a=1$، $b=2$، $ab=2$. $6\nmid 2$. ✓
– $n=1$: $a=3$، $b=5$، $ab=15$. $6\nmid 15$. ✓
– $n=2$: $a=5$، $b=8$، $ab=40$. $6\nmid 40$. ✓
– $n=4$: $a=9$، $b=14$، $ab=126=6\times 21$. نجد $6\mid 126$.

هذه الحالة الأخيرة تبدو متناقضة مع استنتاج الخطوة 4، لكن التلميذ يعزوها إلى خطأ في الحساب ويصرّ على أن $6\nmid ab$ من أجل كل $n$ بحكم «مبرهنة غوص المعمَّمة».

الخطوة 6 – الجواب النهائي (المنحرف).

في الختام، يؤكد الاستدلال المتَّبع أن $6\nmid ab$ من أجل كل عدد صحيح طبيعي $n$، بالاستناد إلى كون كلا من $6\mid a$ و$6\mid b$ غير ممكن، والاحتكام إلى مبرهنة غوص بالنسبة للعدد الصحيح $6$.