Chute d'un parachutiste avec frottement quadratique

Un parachutiste et son équipement, de masse totale $m=90\text{kg}$, effectuent une chute verticale avant l'ouverture du parachute. On néglige la poussée d'Archimède et on modélise la force de frottement de l'air par $f=k{v}^2$, où $k$ est une constante positive inconnue. On prend $g=9,8{\text{m.s}}^{-2}$, un axe vertical descendant, et $v_0=0$. 1) Établir l'équation différentielle vérifiée par $v(t)$. 2) Montrer que la vitesse limite s'écrit $v_{lim}=\sqrt{\frac{mg}{k}}$. 3) Un enregistrement expérimental indique $v_{lim}=50{\text{m.s}}^{-1}$. En déduire la valeur de $k$. 4) On admet que $v(t)=v_{lim}\tanh \left(\frac{t}{\tau }\right)$, avec $\tau =\frac{v_{lim}}{g}$, est solution de l'équation différentielle. Vérifier cette affirmation par substitution, sachant que $\frac{d}{dt}\left[\tanh \left(\frac{t}{\tau }\right)\right]=\frac{1}{\tau }\left[1-{\tanh }^2\left(\frac{t}{\tau }\right)\right]$. 5) Calculer $\tau$, puis les vitesses atteintes aux instants $t=\tau$ et $t=3\tau$. Commenter le résultat obtenu à $t=3\tau$.