🎛️ تحكّم : حرّك الزاوية θ وشاهد cos، sin، tan
cos و sin ليسا سوى إسقاطَي نقطة على المحورين.
cos θ
0.866
sin θ
0.500
tan θ
0.577
θ = 30° : زاوية كلاسيكية. cos 30° = √3/2، sin 30° = 1/2. المتطابقة السحرية : cos² + sin² = 1.
🌍 قصة قديمة من علم الفلك
لم يولد حساب المثلثات من نزوة رياضياتيين. لقد ظهر قبل 2200 سنة، في اليونان القديمة، لحل مشكلة ملحة : التنبؤ بالكسوف والخسوف.
قام اليوناني هيبارخوس النيقي (190-120 ق.م) بتجميع أول جدول مثلثي معروف. وفي وقت لاحق، طوّر الفلكيون العرب (البتاني، القرن التاسع) هذه الجداول وابتكروا الأسماء الحديثة: الجيب (sinus)، جيب التمام (cosinus)، الظل (tangente).
كلمة « sinus » آتية من العربية جَيْب (الطية) ← اللاتينية sinus (الطية، المنحنى). كلمة « cosinus » = « متمم الجيب ». كلمة « tangente » آتية من اللاتينية tangere (يلمس) : المماس يلمس الدائرة في نقطة.
💡 الفكرة العبقرية : كل شيء يكمن في دائرة شعاعها 1
بدلاً من التعامل مع زوايا مجردة، ضع نفسك على دائرة شعاعها 1 مركزها نقطة الأصل، تُسمى الدائرة المثلثية.
من أجل زاوية θ (ثيتا)، ارسم الشعاع الذي ينطلق من نقطة الأصل ويصنع هذه الزاوية مع المحور الأفقي. إنه يلمس الدائرة في النقطة M.
M = (cos θ, sin θ)
cos θ = الإسقاط على المحور x (الأفصول)
sin θ = الإسقاط على المحور y (الأرتوب)
هذا كل شيء. sin و cos ليسا سوى الإسقاطين المتعامدين للنقطة M على المحورين.
🎯 المتطابقة السحرية : sin² + cos² = 1
النقطة M على الدائرة التي شعاعها 1. إذن المسافة بين M ونقطة الأصل تساوي 1. حسب مبرهنة فيتاغورس :
cos² θ + sin² θ = 1
هذه المتطابقة — الأشهر في حساب المثلثات — هي ببساطة مبرهنة فيتاغورس مطبَّقة على الدائرة التي شعاعها 1. لست بحاجة لحفظها، فهي آتية من الهندسة نفسها.
🤯 لماذا هذا مذهل
الدائرة المثلثية توحّد دفعة واحدة كل ما كان مشتتاً:
- القيم الخاصة (cos 30°، sin 60°، إلخ) تصبح بديهية — إنها مجرد إسقاطات
- صيغ الجمع (cos(a+b)، sin(a+b)) تُبرهن هندسياً
- إشارات cos و sin تُقرأ مباشرة على الدائرة (موجبة، سالبة، إلخ)
- الدورية 2π آتية من كوننا نعود إلى نفس النقطة بعد دورة كاملة
- المعادلات المثلثية تصبح هندسية (البحث عن كل النقط التي تحقق…)
📐 وماذا عن الظل (tangente) ؟
للظل أيضاً تأويل هندسي أنيق. ارسم المستقيم العمودي x = 1 (المماس للدائرة في النقطة (1, 0)). مدّد الشعاع المار من M حتى هذا المستقيم. النقطة التي يتقاطعان فيها أرتوبها tan θ.
بعبارة أخرى :
tan θ = sin θcos θ
لهذا السبب لا يكون tan معرَّفاً عندما cos θ = 0 (θ = π/2 + kπ) : لأننا سنقسم على صفر، والمستقيم (OM) لم يعد يقطع المماس العمودي.
🎓 الرابط مع برنامجك في البكالوريا علوم رياضية
الدائرة المثلثية أساسية في الأولى بكالوريا علوم رياضية والثانية بكالوريا علوم رياضية :
- حساب الزوايا الخاصة: 0، π/6، π/4، π/3، π/2… كل القيم تُستخرج بصرياً
- صيغ الجمع: cos(a+b)، sin(a+b)، tan(a+b)
- المعادلات المثلثية: sin x = 1/2 لها حلّان على [0, 2π]
- الدوال المثلثية (الثانية بكالوريا) : دراسة، مشتقات (cos x)' = −sin x، الدورية
- الأعداد العقدية (الثانية بكالوريا) : الشكل المثلثي z = ρ(cos θ + i sin θ)
- التكاملات مع sin و cos
💎 سر بيداغوجي
عندما يطلب منك مصحّح البكالوريا قيمة cos(7π/6)، فهو لا يتوقع أن تُخرج آلة حاسبة. إنه يتوقع منك أن تضع النقطة على الدائرة ذهنياً وأن تقرأ الإسقاط.
هذا المنعكس يجعلك تربح 3-5 دقائق لكل تمرين. إنها علامة التلاميذ المتفوقين : هم لا يحسبون، بل يرَوْن.
Vérifie ta compréhension
3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.